Expressions for the norm

为了便于处理变换的范数，我们考虑以下四个表达式：根据我们对大括号记法的定义，例如表达式 $\{\Vert Ax\Vert :\Vert x\Vert =1\}$ 表示所有形如 $\Vert Ax\Vert$ 的实数构成的集合，这些实数对应于所有满足 $\Vert x\Vert =1$ 的 $x$ 。

由于当 $x=0$ 时，$\Vert Ax\Vert \le K\Vert x\Vert$ 对任意 $K$ 显然成立，上确界的定义意味着 $p=\Vert A\Vert$ ；我们将证明事实上 $p=q=r=s=\Vert A\Vert$ 。由于表达式 $q$ 的上确界是在对应 $p$ 的集合的一个子集上取的（即，若 $\Vert x\Vert =1$ ，则 $\Vert Ax\Vert /\Vert x\Vert =\Vert Ax\Vert$ ），我们有 $q\le p$ ；类似的论证可得 $s\le r$ 。

对任意 $x\ne 0$ ，我们考虑 $y=\frac{x}{\Vert x\Vert }$ （从而 $\Vert y\Vert =1$ ）；我们有 $\Vert Ax\Vert /\Vert x\Vert =\Vert Ay\Vert$ 。换言之，上确界为 $p$ 的集合中的每个数也出现在对应 $q$ 的集合中；由此推出 $p\le q$ ，进而 $p=q=\Vert A\Vert$ 。

类似地，若 $x\ne 0$ 且 $y\ne 0$ ，我们考虑 和 ；我们有 从而，通过刚才的论证，$r\le s$ ，于是 $r=s$ 。

为了巩固我们的结论，我们注意到目前已经证明了 $$p=q=\Vert A\Vert \text{ 且 }r=s.$$ 因为 $$\frac{|(Ax,y)|}{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }\le \frac{\Vert Ax\Vert \cdot \Vert y\Vert }{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }=\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert },$$ 由此推出 $r\le p$ ；我们将通过证明 $p\le r$ 来完成证明。为此，考虑任意满足 $Ax\ne 0$ 的向量 $x$ （从而 $x\ne 0$ ）；对于这样的 $x$ ，令 $y=Ax$ ，我们有 $$\Vert Ax\Vert /\Vert x\Vert =|(Ax,y)|/\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert .$$ 换言之，我们证明了定义 $p$ 的集合中出现的每个非零数，也出现在以 $r$ 为上确界的集合中；这显然蕴含了所需的结果。

由 $\Vert A\Vert$ 给出的变换 $A$ 的数值函数满足以下四个条件：其中前三者的证明可由变换范数的定义直接得到；为证明 (4)，我们利用等式 $\Vert A\Vert =r$ ，如下所示。由于 我们得到 $\Vert A\Vert \le \Vert A^{\ast }\Vert$ ；将 $A$ 替换为 $A^{\ast }$ 且 $A^{\ast }$ 替换为 $A^{\ast \ast }=A$ ，我们得到反向的不等式。

练习