线性变换的收敛性

我们现在回到收敛问题的讨论。序列 $(A_{n})$ 的线性变换收敛到一个固定的线性变换 $A$ ，有三种显然的意义可以尝试定义。 $当当对于每个固定的当对于每个固定的和$

如果 (i) 成立，那么对于每个 $x$ ，因此 (i) $⟹$ (ii)。我们已经看到（章节：向量的收敛）(ii) $⟹$ (iii)，并且在有限维空间中 (iii) $⟹$ (ii)。甚至在有限维空间中 (ii) $⟹$ (i) 也是成立的，因此所有三个条件都是等价的。为了证明这一点，设 ${x_{1}, \dots, x_{N}}$ 是 $𝒱$ 中的一个标准正交基。如果假设 (ii) 成立，那么对于每个 $ϵ > 0$ ，我们可以找到一个 $n_{0} = n_{0} (ϵ)$ 使得 $‖ A_{n} x_{i} - A x_{i} ‖ < ϵ$ 对 $n \geq n_{0}$ 以及 $i = 1, \dots, N$ 成立。由此推出，对于任意的 $x = \sum_{i} (x, x_{i}) x_{i}$ 我们有这就蕴含 (i)。

同样容易证明，如果使用范数为变换定义距离，那么所得的度量空间是完备的，也就是说，如果 $‖ A_{n} - A_{m} ‖ \to 0$ 当 $n, m \to \infty$ ，那么存在一个 $A$ 使得 $‖ A_{n} - A ‖ \to 0$ 。这一事实的证明可以归结为向量的相应事实。如果 $‖ A_{n} - A_{m} ‖ \to 0$ ，那么对于每个 $x$ 有 $‖ A_{n} x - A_{m} x ‖ \to 0$ ，因此我们可以为 $x$ 找到一个对应的向量，记为 $A x$ ，使得 $‖ A_{n} x - A x ‖ \to 0$ 。显然，从 $x$ 到 $A x$ 的对应关系由一个线性变换 $A$ 给出；上面证明的蕴含关系 (ii) $⟹$ (i) 完成了证明。

既然我们知道了线性变换收敛的含义，我们就有必要考察这些变换的一些简单函数以验证它们的连续性。我们断言 $‖ A ‖$ 、 $‖ A x ‖$ 、 $(A x, y)$ 、 $A x$ 、 $A + B$ 、 $α A$ 、 $A B$ 和 $A^{*}$ 全都是它们所有变量的同时连续的函数。（请注意，前三个是数值函数，下一个是向量值函数，后四个是变换值函数。）这些陈述的证明都非常简单，并且彼此相似；为了说明这些思想，我们讨论 $‖ A ‖$ 、 $A x$ 和 $A^{*}$ 。

如果 $A_{n} \to A$ ，即 $‖ A_{n} - A ‖ \to 0$ ，那么由于关系式 $‖ A_{n} ‖ \leq ‖ A_{n} - A ‖ + ‖ A ‖,$ 和 $‖ A ‖ \leq ‖ A - A_{n} ‖ + ‖ A_{n} ‖$ 蕴含 $| ‖ A_{n} ‖ - ‖ A ‖ | \leq ‖ A_{n} - A ‖,$ 我们看到 $‖ A_{n} ‖ \to ‖ A ‖$ 。
如果 $A_{n} \to A$ 且 $x_{n} \to x$ ，那么 $‖ A_{n} x_{n} - A x ‖ \leq ‖ A_{n} x_{n} - A x_{n} ‖ + ‖ A x_{n} - A x ‖ \to 0,$ 因此 $A_{n} x_{n} \to A x$ 。
如果 $A_{n} \to A$ ，那么对于每个 $x$ 和 $y$ ，从而 $A_{n}^{*} \to A^{*}$ 。

练习

练习 1. 线性变换序列 $(A_{n})$ 收敛到一个线性变换 $A$ ，当且仅当，对于每一个坐标系， $A_{n}$ 的矩阵中的每一个元素，当 $n \to \infty$ 时，都收敛到 $A$ 的矩阵中的对应元素。

练习 2. 对于每一个线性变换 $A$ ，存在一个由可逆线性变换组成的序列 $(A_{n})$ ，使得 $A_{n} \to A$ 。

练习 3. 如果 $E$ 和 $F$ 是垂直投影，那么 $(E F E)^{n}$ 当 $n \to \infty$ 时收敛到投影，该投影的值域是 $E$ 和 $F$ 的值域的交集。

练习 4. 如果 $A$ 是有限维酉空间上的线性变换，那么 $A^{n} \to 0$ 的一个必要且充分的条件是， $A$ 的所有特征值（严格地）的绝对值都小于 $1$ 。

练习 5. 证明如果 $A$ 是 $n$ 乘 $n$ 矩阵那么 $A^{k}$ 当 $k \to \infty$ 时收敛到一个投影，该投影的值域是一维的；找出该值域。

练习 6. 证明 $det$ 和 $tr$ 是连续的。