极小极大原理

关于自伴变换的一个非常优美且有用的事实是以下的 极小极大原理 。

定理 1. 设 $A$ 是 $n$ 维内积空间 $𝒱$ 上的自伴变换，令 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ 是 $A$ 的（不一定互异的）特征值，记号选取使得 $λ_{1} \geq λ_{2} \geq \dots \geq λ_{n}$ 。如果对 $𝒱$ 的每个子空间 $ℳ$ ，有 $μ (ℳ) = sup {(A x, x) : x in ℳ, ‖ x ‖ = 1},$ 并且对 $k = 1, \dots, n$ ，令 $μ_{k} = inf {μ (ℳ) : \dim ℳ = n - k + 1},$ 那么对 $k = 1, \dots, n$ ，有 $μ_{k} = λ_{k}$ 。

证明. 设 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的标准正交基，使得 $A x_{i} = λ_{i} x_{i}$ ， $i = 1, \dots, n$ （谱定理节）；对 $k = 1, \dots, n$ ，令 $ℳ_{k}$ 为 $x_{1}, \dots, x_{k}$ 张成的子空间。由于 $ℳ_{k}$ 的维数是 $k$ ，子空间 $ℳ_{k}$ 不可能与 $𝒱$ 中任何 $(n - k + 1)$ 维子空间 $ℳ$ 不相交；若 $ℳ$ 是任何一个这样的子空间，我们可以找到一个向量 $x$ 同时属于 $ℳ_{k}$ 和 $ℳ$ 且 $‖ x ‖ = 1$ 。对这个 $x = \sum_{i = 1}^{k} ξ_{i} x_{i}$ ，我们有所以 $μ (ℳ) \geq λ_{k}$ 。

另一方面，若考虑由 $x_{k}, x_{k + 1}, \dots, x_{n}$ 张成的特定 $(n - k + 1)$ 维子空间 $ℳ_{0}$ ，那么对此子空间中的每一个 $x = \sum_{i = k}^{n} ξ_{i} x_{i}$ （假设 $‖ x ‖ = 1$ ），我们有所以 $μ (ℳ_{0}) \leq λ_{k}$ 。

换句话说，当 $ℳ$ 取遍所有 $(n - k + 1)$ 维子空间时， $μ (ℳ)$ 总是 $\geq λ_{k}$ ，且至少有一次 $\leq λ_{k}$ ；这就证明了 $μ_{k} = λ_{k}$ 。 ◻

特别地，对 $k = 1$ ，我们看出（利用自伴变换的界一节）若 $A$ 自伴，则 $‖ A ‖$ 等于 $A$ 的特征值的绝对值的最大值。

习题

习题 1. 若 $λ$ 是有限维内积空间上线性变换 $A$ 的特征值，则 $| λ | \leq ‖ A ‖$ 。

习题 2. 若 $A$ 和 $B$ 是有限维酉空间上的线性变换，且 $C = A B - B A$ ，则 $‖ 1 - C ‖ \geq 1$ 。（提示：考虑 $C$ 的特征值。）

习题 3. 若 $A$ 和 $B$ 是有限维酉空间上的线性变换， $C = A B - B A$ ，且 $C$ 与 $A$ 可交换，则 $C$ 不可逆。（提示：若 $C$ 可逆，则 $2 ‖ B ‖ \cdot ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{k - 1} ‖ \geq k ‖ A^{k - 1} ‖ / ‖ C^{- 1} ‖$ 。）

习题 4.

若 $A$ 是有限维酉空间上的正规线性变换，则 $‖ A ‖$ 等于 $A$ 的特征值的绝对值的最大值。
若省略正规性的假设，(a) 的结论是否仍然成立？

习题 5. 有限维酉空间上线性变换 $A$ 的 谱半径 ，记作 $r (A)$ ，是 $A$ 的特征值的绝对值的最大值。

设 $f (λ) = ((1 - λ A)^{- 1} x, y)$ ，则对于每个固定的 $x$ 和 $y$ ， $f$ 在 $| λ | < \frac{1}{r (A)}$ 所确定的区域内是 $λ$ 的解析函数。
存在常数 $K$ ，使得当 $| λ | < \frac{1}{r (A)}$ 且 $n = 0, 1, 2, \dots$ 时，有 $| λ |^{n} ‖ A^{n} ‖ \leq K$ 。（提示：对每个 $x$ 和 $y$ ，存在常数 $K$ 使得对所有 $n$ 有 $| λ^{n} (A^{n} x, y) | \leq K$ 。）
$lim sup_{n} ‖ A^{n} ‖^{1 / n} \leq r (A)$ 。
$(r (A))^{n} \leq r (A^{n})$ ， $n = 0, 1, 2, \dots$ 。
$r (A) = lim_{n} ‖ A^{n} ‖^{1 / n}$ 。

习题 6. 若 $A$ 是有限维酉空间上的线性变换，则 $r (A) = ‖ A ‖$ 的充要条件是，对 $n = 0, 1, 2, \dots$ ，有 $‖ A^{n} ‖ = ‖ A ‖^{n}$ 。

习题 7.

若 $A$ 是有限维内积空间上的正线性变换，且 $A B$ 自伴，则对每个向量 $x$ ，有 $| (A B x, x) | \leq ‖ B ‖ \cdot (A x, x)$ 。
若将 $‖ B ‖$ 换成 $r (B)$ ，(a) 的结论是否仍然成立？