向量收敛

迄今为止，我们利用内积空间中内积存在的唯一方式基本上就是引入了正规变换的概念及其一些重要的特殊情况。一个更为显然的思路是研究内积空间中出现的收敛性问题。

让我们来看一下，我们说内积空间 $𝒱$ 中的向量序列 $(x_n)$ 收敛到 $𝒱$ 中的向量 $x$ ，可能意味着什么。有两种可能性： 如果 (i) 成立，那么对于每个 $y$ ，都有 $$|(x_n-x,y)|\le \Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y\Vert \to 0,$$ 因此 (ii) 也成立。在有限维空间中，反过来也是对的：(ii) $⟹$ (i)。为了证明这一点，设 $\{z_1,\dots ,z_N\}$ 是 $𝒱$ 的一组标准正交基。（在本章中，我们常用 $N$ 表示有限维向量空间的维数，以便将 $n$ 留作极限过程中的哑变量。）如果假设 (ii) 成立，那么对于每个 $i=1,\dots ,N$ ，都有 $(x_n-x,z_i)\to 0$ 。由于（ 节：完备性 ，定理2） $$\Vert x_n-x{\Vert }^2=\sum _i|(x_n-x,z_i){|}^2,$$ 因此可得 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$ ，即所证。

关于向量的收敛性（在两种等价的意义下），我们将不加证明地使用以下事实。（所有这些事实都是我们定义及通常复数域中收敛性质的简单推论；我们假定读者对这些概念有基本的了解。）表达式 $\alpha x+\beta y$ 同时定义了一个关于其所有自变量的连续函数；也就是说，如果 $({\alpha }_n)$ 和 $({\beta }_n)$ 是数列，而 $(x_n)$ 和 $(y_n)$ 是向量序列，那么 ${\alpha }_n\to \alpha$ ，${\beta }_n\to \beta$ ，$x_n\to x$ ，且 $y_n\to y$ 蕴含 ${\alpha }_n{x}_n+{\beta }_n{y}_n\to \alpha x+\beta y$ 。如果 $\{z_i\}$ 是 $𝒱$ 的一组标准正交基，且 $x_n=\sum _i{\alpha }_{in}{z}_i$ ，$x=\sum _i{\alpha }_i{z}_i$ ，那么 $x_n\to x$ 的一个充要条件是对于每个 $i=1,\dots ,N$ ，都有 ${\alpha }_{in}\to {\alpha }_i$ （当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时）。（因此，这里定义的收敛概念与通常 $N$ 维实或复坐标空间中的收敛概念一致。）最后，我们将认为已知事实：具有范数定义度量的有限维内积空间是完备的；也就是说，如果 $(x_n)$ 是一个向量序列，满足当 $n,m\to \mathrm{\infty }$ 时 $\Vert x_n-x_m\Vert \to 0$ ，那么存在一个（唯一的）向量 $x$ ，使得当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时 $x_n\to x$ 。