部分分数。反函数的导数

部分分式

我们已经看到，当对一个分数进行微分时，我们必须进行相当复杂的运算；而且，如果分数本身不是简单形式，结果必然是一个复杂的表达式。如果我们能将这个分数拆分成两个或多个更简单的分数，使它们的和等于原分数，那么我们就可以分别对每个简单表达式进行微分。微分的结果将是两个（或多个）导数的和，每个导数都相对简单；而最终表达式，虽然与不采用这种技巧得到的结果相同，但通过这种方式可以更省力地获得，并且以简化形式呈现。

让我们看看如何实现这一结果。首先尝试将两个分数相加得到一个合成分数。例如，取两个分数 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $\frac{2}{x - 1}$ 。每个学生都能将它们相加，并求出它们的和为 $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ 。同样地，他们也可以将三个或更多分数相加。现在，这个过程当然可以逆转：也就是说，如果给出了最后一个表达式，那么它肯定可以以某种方式拆回其原始分量或部分分式。只是我们不知道在遇到的每一种情况下，如何进行拆分。为了找出方法，我们首先考虑一个简单的情况。但重要的是要记住，以下所有内容仅适用于所谓的“真”代数分式，即像上面那样分子次数低于分母次数的分式；也就是说，分子中 $x$ 的最高指数小于分母中的最高指数。如果我们要处理像 $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$ 这样的表达式，我们可以通过除法简化它，因为它等价于 $1 + \frac{3}{x^{2} - 1}$ ；而 $\frac{3}{x^{2} - 1}$ 是一个真代数分式，可以按照下文所述应用拆分为部分分式的操作。

情况一：分母的因子都是一次式 $(𝒂 𝒙 + 𝒃)$ 且无重复

如果我们对两个或多个分数进行多次加法，这些分数的分母只包含 $x$ 项，而不包含 $x^{2}$ 、 $x^{3}$ 或 $x$ 的任何其他幂次项，我们总是会发现，最终合成分数的分母是相加形成结果的各个分数的分母的乘积。因此，通过因式分解这个最终分数的分母，我们可以找到我们正在寻找的每个部分分式的分母。

示例 13.1。假设我们希望从 $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ 回到我们知道的分量 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $\frac{2}{x - 1}$ 。如果我们不知道这些分量是什么，我们仍然可以通过书写来准备： $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{}{x + 1} + \frac{}{x - 1},$ 在知道放什么之前，分子位置留空。我们总可以假设部分分式之间的符号是加号，因为如果是减号，我们只会发现相应的分子是负数。现在，由于部分分式是真分式，分子只是不含 $x$ 的数字，我们可以随意称它们为 $A$ 、 $B$ 、 $C \dots$ 。因此，在这种情况下，我们有： $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} .$

如果现在我们执行这两个部分分式的加法，我们得到 $\frac{A (x - 1) + B (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ；并且这必须等于 $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ 。而且，由于这两个表达式中的分母相同，分子必须相等，从而得到： $3 x + 1 = A (x - 1) + B (x + 1) .$

现在，这是一个有两个未知数的方程，似乎我们需要另一个方程才能求解它们并找到 $A$ 和 $B$ 。但还有另一种方法可以解决这个困难。该方程必须对所有 $x$ 值成立；因此，它必须对能使 $x - 1$ 和 $x + 1$ 变为零的那些 $x$ 值成立，即分别对 $x = 1$ 和 $x = - 1$ 成立。如果我们令 $x = 1$ ，我们得到 $4 = (A \times 0) + (B \times 2)$ ，所以 $B = 2$ ；如果我们令 $x = - 1$ ，我们得到 $- 2 = (A \times - 2) + (B \times 0)$ ，所以 $A = 1$ 。用这些新值替换部分分式中的 $A$ 和 $B$ ，我们发现它们变成 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $\frac{2}{x - 1}$ ；这样就完成了。

示例 13.2。作为另一个例子，我们取分数 $\frac{4 x^{2} + 2 x - 14}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}$ 。

当 $x$ 取值为 $1$ 时，分母变为零；因此 $x - 1$ 是它的一个因子，显然另一个因子将是 $x^{2} + 4 x + 3$ ；¹ 并且这可以进一步分解为 $(x + 1) (x + 3)$ 。所以我们可以这样写这个分数： $\frac{4 x^{2} + 2 x - 14}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 3},$ 形成三个部分因子。

像之前一样进行，我们得到 $4 x^{2} + 2 x - 14 = A (x - 1) (x + 3) + B (x + 1) (x + 3) + C (x + 1) (x - 1) .$

现在，如果我们令 $x = 1$ ，我们得到： $- 8 = (A \times 0) + B (2 \times 4) + (C \times 0); 即， B = - 1.$

如果 $x = - 1$ ，我们得到： $- 12 = A (- 2 \times 2) + (B \times 0) + (C \times 0); 由此得 A = 3.$

如果 $x = - 3$ ，我们得到： $16 = (A \times 0) + (B \times 0) + C (- 2 \times - 4); 由此得 C = 2.$

所以部分分式是： $\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 3},$ 这比它所源自的复杂表达式更容易对 $x$ 进行微分。

情况二：分母包含二次式² $(𝒂 𝒙^{2} + 𝒃 𝒙 + 𝒄)$ 的因子且无重复

如果分母的某些因子包含 $x^{2}$ 项，并且不方便分解为因子，那么相应的分子可能包含一个 $x$ 项以及一个简单数字；因此，有必要用 $A x + B$ 而不是符号 $A$ 来表示这个未知分子；其余计算如前所述进行。

示例 13.3。例如，尝试： $\begin{matrix} \frac{- x^{2} - 3}{(x^{2} + 1) (x + 1)} . \\ \frac{- x^{2} - 3}{(x^{2} + 1) (x + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}; \\ - x^{2} - 3 = (A x + B) (x + 1) + C (x^{2} + 1) . \end{matrix}$

令 $x = - 1$ ，我们得到 $- 4 = C \times 2$ ；且 $C = - 2$ ；

因此 $- x^{2} - 3 = (A x + B) (x + 1) - 2 x^{2} - 2;$ 且 $x^{2} - 1 = A x (x + 1) + B (x + 1) .$

令 $x = 0$ ，我们得到 $- 1 = B$ ；
因此 $x^{2} - 1 = A x (x + 1) - x - 1; 或 x^{2} + x = A x (x + 1);$ 且 $x + 1 = A (x + 1),$ 所以 $A = 1$ ，部分分式是： $\frac{x - 1}{x^{2} + 1} - \frac{2}{x + 1} .$

示例 13.4。再取分数 $\frac{x^{3} - 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$ 作为另一个例子。

我们得到

在这种情况下，确定 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 并不那么容易。按如下方式进行会更简单：由于给定的分数和通过相加部分分式得到的分数相等，并且具有相同的分母，因此分子也必须完全相同。在这种情况下，对于这里处理的这类代数表达式， $x$ 的相同幂次的系数相等且符号相同。

因此，由于我们有 $1 = A + C$ ； $0 = B + D$ （左边表达式中 $x^{2}$ 的系数为零）； $0 = 2 A + C$ ；且 $- 2 = 2 B + D$ 。这里有四个方程，从中我们很容易得到 $A = - 1$ ； $B = - 2$ ； $C = 2$ ； $D = 0$ ；所以部分分式是 $\frac{2 (x + 1)}{x^{2} + 2} - \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ 。这种方法总是可以使用；但首先展示的方法在仅涉及 $x$ 的因子的情况下会更快。

情况三：分母包含一次或二次因子且部分重复

当分母的因子中有些被提升到某次幂时，必须考虑到可能存在部分分式，其分母是该因子的各个幂次，直到最高次幂。

示例 13.5。在拆分分数 $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}$ 时，我们必须考虑到可能存在分母为 $x + 1$ 以及 $(x + 1)^{2}$ 和 $(x - 2)$ 的情况。

然而，可能会有人认为，由于分母为 $(x + 1)^{2}$ 的分数的分子可能包含 $x$ 项，我们在为其分子书写 $A x + B$ 时必须考虑到这一点，所以 $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{A x + B}{(x + 1)^{2}} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 2} .$ 然而，如果我们尝试在这种情况下找到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ ，我们会失败，因为我们得到四个未知数；而我们只有三个关系式将它们联系起来，然而 $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} .$

但是如果我们写 $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{A}{(x + 1)^{2}} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 2},$ 我们得到 $3 x^{2} - 2 x + 1 = A (x - 2) + B (x + 1) (x - 2) + C (x + 1)^{2},$ 当 $x = 2$ 时，这给出 $C = 1$ 。用其值替换 $C$ ，移项，合并同类项并除以 $x - 2$ ，我们得到 $- 2 x = A + B (x + 1)$ ，当 $x = - 1$ 时，这给出 $A = - 2$ 。用其值替换 $A$ ，我们得到 $2 x = - 2 + B (x + 1) .$

因此 $B = 2$ ；所以部分分式是： $\frac{2}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2},$ 而不是上面陈述的作为 $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}$ 来源的分式 $\frac{1}{x + 1} + \frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2}$ 。如果我们观察到 $\frac{x - 1}{(x + 1)^{2}}$ 本身可以拆分为两个分数 $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$ ，那么谜团就解开了，所以给出的三个分数实际上等价于 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2},$ 这就是所得到的部分分式。

从前面的例子可以看出，在每个分子中考虑一个数值项就足够了，并且我们总是能得到最终的部分分式。

然而，当分母中包含 $x^{2}$ 因子的幂时，相应的分子必须是 $A x + B$ 的形式。

示例 13.6。 $\frac{3 x - 1}{(2 x^{2} - 1)^{2} (x + 1)} = \frac{A x + B}{(2 x^{2} - 1)^{2}} + \frac{C x + D}{2 x^{2} - 1} + \frac{E}{x + 1},$

这给出 $3 x - 1 = (A x + B) (x + 1) + (C x + D) (x + 1) (2 x^{2} - 1) + E (2 x^{2} - 1)^{2} .$

对于 $x = - 1$ ，这给出 $E = - 4$ 。替换、移项、合并同类项并除以 $x + 1$ ，我们得到 $16 x^{3} - 16 x^{2} + 3 = 2 C x^{3} + 2 D x^{2} + x (A - C) + (B - D) .$

因此 $2 C = 16$ 且 $C = 8$ ； $2 D = - 16$ 且 $D = - 8$ ； $A - C = 0$ 或 $A - 8 = 0$ 且 $A = 8$ ，最后， $B - D = 3$ 或 $B = - 5$ 。所以我们得到部分分式： $\frac{(8 x - 5)}{(2 x^{2} - 1)^{2}} + \frac{8 (x - 1)}{2 x^{2} - 1} - \frac{4}{x + 1} .$

检查获得的结果是有用的。最简单的方法是在给定的表达式和获得的部分分式中，将 $x$ 替换为一个单一值，比如 $+ 1$ 。

每当分母只包含单个因子的幂时，一个非常快速的方法如下：

示例 13.7。例如，取 $\frac{4 x + 1}{(x + 1)^{3}}$ ，令 $x + 1 = z$ ；则 $x = z - 1$ 。

替换后，我们得到 $\frac{4 (z - 1) + 1}{z^{3}} = \frac{4 z - 3}{z^{3}} = \frac{4}{z^{2}} - \frac{3}{z^{3}} .$

因此，部分分式是 $\frac{4}{(x + 1)^{2}} - \frac{3}{(x + 1)^{3}} .$

部分分式在微分中的应用

假设需要对 $y = \frac{5 - 4 x}{6 x^{2} + 7 x - 3}$ 进行微分；我们有

然而，如果我们将给定的表达式拆分为 $\frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{2 x + 3},$ 我们得到 $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{(3 x - 1)^{2}} + \frac{4}{(2 x + 3)^{2}},$ 这实际上与上面拆分为部分分式的结果相同。但是，如果在微分之后进行拆分，会更加复杂，这一点很容易看出。当我们处理这类表达式的积分时，我们会发现拆分为部分分式是一个宝贵的辅助工具（参见此处）。

练习

拆分为分式

练习 13.1。 $\frac{3 x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ 。

答案

$\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$ 。

解答

$\Rightarrow A (x + 4) + B (x - 3) = 3 x + 5 (*)$

对于 $x = 3$ ，我们得到 $7 A + B \times 0 = 3 \times 3 + 5 = 14$ $\Rightarrow A = 2$

将 $x = - 4$ 代入 (*) 式，我们得到 $0 \times A - 7 B = - 12 + 5 = - 7$ $\Rightarrow B = 1$ 因此 $\frac{3 x + 5}{(x - 3) (x + 4)} = \frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$

练习 13.2. $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$ .

答案

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$ .

解答

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$

$\Rightarrow 3 x - 4 = A (x - 2) + B (x - 1) (*)$

将 $x = 1$ 代入 (*) 式，我们得到 $- 1 = A (- 1) + B \times 0$ $\Rightarrow A = 1$

将 $x = 2$ 代入 (*) 式，我们得到 $3 \times 2 - 4 = A \times 0 + B$ $\Rightarrow B = 2$

因此，

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$

练习 13.3. $\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12}$ .

答案

$\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$ .

解答

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12}$

由于 $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ ，我们写成

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 3}$ $\Rightarrow 3 x + 5 = A (x - 3) + B (x + 4) (*)$

将 $x = - 4$ 代入 (*) 式，我们得到

$- 7 = A (- 7) \Rightarrow A = 1$

将 $x = 3$ 代入 (*) 式，我们得到

$\begin{matrix} 14 = A \times 0 + 7 B \\ \Rightarrow B = 2 \end{matrix}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} = \frac{1}{x + 4} + \frac{2}{x - 3} .$

练习 13.4. $\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$ .

答案

$\frac{5}{x - 4} - \frac{4}{x - 3}$ .

解答

$\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

由于 $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 4) (x - 3)$ $\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 3}$ $\Rightarrow x + 1 = A (x - 3) + B (x - 4) (*)$

将 $x = 4$ 代入 (*) 式，我们得到 $5 = A + 0 \Rightarrow A = 5$

将 $x = 3$ 代入 (*) 式，我们得到 $4 = 0 - B \Rightarrow B = - 4$

因此，

$\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{5}{x - 4} - \frac{4}{x - 3}$

练习 13.5. $\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)}$ .

答案

$\frac{19}{13 (2 x + 3)} - \frac{22}{13 (3 x - 2)}$ .

解答

$\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)} = \frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{3 x - 2}$ $\Rightarrow x - 8 = A (3 x - 2) + B (2 x + 3) (*)$

将 $x = - \frac{3}{2}$ 代入 (*) 式，我们得到

$- \frac{19}{2} = - \frac{13}{2} A + 0$

$\Rightarrow A = \frac{19}{13}$

将 $x = \frac{2}{3}$ 代入 (*) 式，我们得到

$\begin{matrix} - \frac{22}{3} = A \times 0 + B \times \frac{13}{3} \\ B = - \frac{22}{13} \end{matrix}$

因此， $\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)} = \frac{19}{13 (2 x + 3)} - \frac{22}{13 (3 x - 2)} .$

练习 13.6. $\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}$ .

答案

$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{5}{x - 4}$ .

解答

$\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x - 4} .$ 因此 $x^{2} - 13 x + 26 = A (x - 3) (x - 4) + B (x - 2) (x - 4) + C (x - 2) (x - 3) (*)$

将 $x = 2$ 代入 (*) 式，我们得到 $4 = A (- 1) (- 2) + 0 + 0$ $\Rightarrow A = 2$

将 $x = 3$ 代入 (*) 式，我们得到

$- 4 = 0 + B (1) (- 1) + 0$ $\Rightarrow B = 4$

将 $x = 4$ 代入 (*) 式，我们得到

$\begin{matrix} - 10 = 0 + 0 + C (2) (1) \\ \Rightarrow C = - 5 \end{matrix}$

因此，

$\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{5}{x - 4}$

练习 13.7. $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)}$ .

答案

$\frac{1}{6 (x - 1)} + \frac{11}{15 (x + 2)} + \frac{1}{10 (x - 3)}$ .

解答

$\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}$ 因此， $x^{2} - 3 x + 1 = A (x + 2) (x - 3) + B (x - 1) (x - 3) + C (x - 1) (x + 2) (*)$

将 $x = 1$ 代入 (*) 式

$\begin{matrix} - 1 = A \times 3 \times (- 2) + 0 + 0 \\ A = \frac{1}{6} \end{matrix}$

将 $x = - 2$ 代入 (*) 式

$\begin{matrix} 11 = 0 + B (- 3) (- 5) + 0 \\ B = \frac{11}{15} \end{matrix}$

将 $x = 3$ 代入 (*) 式 $\begin{matrix} 1 = 0 + 0 + C (2) (5) \\ C = \frac{1}{10} \end{matrix}$

因此

$\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} = \frac{1}{6 (x - 1)} + \frac{11}{15 (x + 2)} + \frac{1}{10 (x - 3)}$

练习 13.8. $\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)}$ .

答案

$\frac{7}{9 (3 x + 1)} + \frac{71}{63 (3 x - 2)} - \frac{5}{7 (2 x + 1)}$ .

解答

$\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{3 x - 2} + \frac{C}{3 x + 1}$ 因此， $5 x^{2} + 7 x + 1 = A (3 x - 2) (3 x + 1) + B (2 x + 1) (3 x + 1) + C (2 x + 1) (3 x - 2) (*)$

将 $x = - \frac{1}{2}$ 代入 (*) 式， $- \frac{5}{4} = A (- \frac{7}{2}) (- \frac{1}{2}) + 0 + 0$

$\Rightarrow A = - \frac{5}{7}$

将 $x = \frac{2}{3}$ 代入 (*) 式

$\begin{matrix} \frac{71}{9} = 0 + B (\frac{7}{3}) (3) \\ \Rightarrow B = \frac{71}{63} \end{matrix}$

将 $x = - \frac{1}{3}$ 代入 (*) 式

$\begin{matrix} - \frac{7}{9} = 0 + 0 + C (\frac{1}{3}) (- 3) \\ \Rightarrow C = \frac{7}{9} \end{matrix}$

因此， $\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)} = - \frac{5}{7 (2 x + 1)} + \frac{71}{63 (3 x - 2)} + \frac{7}{9 (3 x + 1)}$

练习 13.9. $\frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$ .

答案

$\frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$ .

解答

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ 由此可得 $x^{2} = A (x^{2} + x + 1) + (B x + C) (x - 1) (*)$ 对于 $x = 1$ ，我们有 $1 = A (3) + (B + C) (0)$ $\Rightarrow A = \frac{1}{3}$ 将 $A = \frac{1}{3}$ 代入 (*) 式，展开并合并同类项，我们得到因此，我们必须有 $B + \frac{1}{3} = 1$ ， $C - B + \frac{1}{3} = 0$ ，以及 $- C + \frac{1}{3} = 0$ ： $检验$

因此

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

练习 13.10. $\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$ .

答案

$x + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1 - 2 x}{3 (x^{2} - x + 1)}$ .

解答

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$

由于分子的次数大于分母的次数，这不是一个真分式。我们可以用分子除以分母得到一个真分式：

因此

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1} = x + \frac{1 - x}{x^{3} + 1}$

由于 $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ ，我们写成

$\frac{1 - x}{x^{3} + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

$1 - x = A (x^{2} - x + 1) + (B x + C) (x + 1) (*)$

将 $x = - 1$ 代入 (*) 式，我们得到 $\begin{matrix} 2 = A (3) + (C - B) (0) \\ \Rightarrow A = \frac{2}{3} \end{matrix}$

因此 $1 - x = \frac{2}{3} (x^{2} - x + 1) + B x^{2} + B x + C x + C$ 展开并合并同类项，我们得到 $(\frac{2}{3} + B) x^{2} + (- \frac{2}{3} + 1 + B + C) x + C + \frac{2}{3} - 1 = 0$ 我们必须有 $\frac{2}{3} + B = 0$ ， $- \frac{2}{3} + 1 + B + C = 0$ ，以及 $C + \frac{2}{3} - 1 = 0$ ：

$- \frac{2}{3} + 1 + B + C = - \frac{2}{3} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 0 (检验)$

因此

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1} = x + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1 - 2 x}{3 (x^{2} - x + 1)}$

练习 13.11. $\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

答案

$\frac{3}{(x + 1)} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

解答

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ $5 x^{2} + 6 x + 4 = A (x^{2} + x + 1) + (B x + C) (x + 1) (*)$

对于 $x = - 1$ ，我们有 $3 = A (1) + (B x + C) (0)$ $\Rightarrow A = 3$ 将 $A = 3$ 代入 (*) 式得到

因此

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{3}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

练习 13.12. $\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}}$ .

答案

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x - 2)^{2}}$ .

解答

$\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^{2}}$

对于每个 $x$ ，我们必须有

$x = A (x - 2)^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)$

对于 $x = 1$ ，

对于 $x = 2$ ，

$2 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 2$

由于没有其他 $x$ 的值能使任何因子为零，我们选择一个方便的 $x$ 值来简化计算。例如，对于 $x = 0$ ，我们得到

$0 = 1 \times (0 - 2)^{2} + B (0 - 1) (0 - 2) + 2 (0 - 1)$

或

$0 = 4 + 2 B - 2 \Rightarrow B = - 1$

因此

$\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x - 2)^{2}}$

练习 13.13. $\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)}$ .

答案

$\frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)^{2}}$ .

解答

$\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)} = \frac{x}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^{2}}$

因此，对于每个 $x$ ，我们必须有

$x = A (x + 1)^{2} + B (x - 1) (x + 1) + C (x - 1)$

对于 $x = 1$

$1 = A \times 2^{2} + 0 + 0 \Rightarrow A = \frac{1}{4}$

对于 $x = - 1$

$- 1 = 0 + 0 + C (- 2) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

对于 $x = 0$

$0 = \frac{1}{4} \times (0 + 1)^{2} - B + \frac{1}{2} (- 1) \Rightarrow B = - \frac{1}{4}$

因此 $\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)} = \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)^{2}}$

练习 13.14. $\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)}$ .

答案

$\frac{4}{9 (x - 1)} - \frac{4}{9 (x + 2)} - \frac{1}{3 (x + 2)^{2}}$ .

解答

$\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$

对于每个 $x$ ，我们必须有

$x + 3 = A (x + 2)^{2} + B (x - 1) (x + 2) + C (x - 1)$

对于 $x = 1$

$4 = 9 A + 0 + 0 \Rightarrow A = \frac{4}{9}$

对于 $x = - 2$

$1 = 0 + 0 + C (- 3) \Rightarrow C = - \frac{1}{3}$

一个方便计算的选择是 $x = 0$ 。但你可以选择另一个 $x$ 的值。

对于 $x = 0$

因此

$\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)} = \frac{4}{9 (x - 1)} - \frac{4}{9 (x + 2)} - \frac{1}{3 (x + 2)^{2}}$

练习 13.15. $\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) (x^{2} + x + 1)^{2}}$ .

答案

$\frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{(x^{2} + x + 1)^{2}}$ .

解答

$\frac{3 x^{2}+2 x+1}{(x+2)\left(x^{2}+x+1\right)^{2}}=\frac{A}{x+2}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2<p>For every $x$, we have \[3 x^{2}+2 x+1=A\left(x^{2}+x+1\right)^{2}+(B x+E)\left(x^{2}+x+1\right)(x+2)+(D x+E)(x+2)$

For $x = - 2$ , we have

$9 = A \times 3^{2} + 0 + 0 \Rightarrow A = 1$

To find $B, C, D$ , and $E$ , we choose some convenient values of $x$ . Then we try to solve the system of equations.

For $x = 0$

$\begin{matrix} 1 = 1 \times 1 + C (1) (2) + E (2) \\ \Rightarrow 2 C + 2 E = 0 \\ E = - C \end{matrix}$

For $x = 1$ ,

For $x = - 1$ ,

$\begin{matrix} 2 = 1 + (C - B) (1) (1) + (- C - D) (1) \\ B + D = - 1 \end{matrix}$

For $x = 2$ ,

${\begin{matrix} 9 B + 6 C + 3 D = - 3 \\ B + D = - 1 \\ 14 B + 6 C + 2 D = - 8 \end{matrix} \Rightarrow B = - 1, C = 1, D = 0$ Therefore

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) {(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Exercise 13.16. $\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}}$ .

Answer

$\frac{5}{x + 4} - \frac{32}{(x + 4)^{2}} + \frac{36}{(x + 4)^{3}}$ .

Solution

$\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{(x + 4)^{2}} + \frac{C}{(x + 4)^{3}}$

For every $x$ , we must have

$5 x^{2} + 8 x - 12 = A (x + 4)^{2} + B (x + 4) + C$

For $x = - 4$

$36 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 36$

For $x = - 3$

$9 = A + B + 36 \Rightarrow A + B = - 27$

For $x = 0$

$- 12 = 16 A + 4 B + 36 \Rightarrow 4 A + B = - 12$

${\begin{cases} A + B = - 27 \\ 4 A + B = - 12 \end{cases} \Rightarrow A = 5, B = - 32$

Therefore

$\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}} = \frac{5}{x + 4} - \frac{32}{(x + 4)^{2}} + \frac{36}{(x + 4)^{3}}$

Exercise 13.17. $\frac{7 x^{2} + 9 x - 1}{(3 x - 2)^{4}}$ .

Answer

$\frac{7}{9 (3 x - 2)^{2}} + \frac{55}{9 (3 x - 2)^{3}} + \frac{73}{9 (3 x - 2)^{4}}$ .

Solution

Let $3 x - 2 = z$ , then $x = \frac{1}{3} (z + 2)$ and $7 x^{2} + 9 x - 1 = \frac{1}{9} (7 z^{2} + 55 z + 73)$ Therefore, $\frac{\frac{1}{9} (7 z^{2} + 55 z + 73)}{z^{4}} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z^{2}} + \frac{C}{z^{3}} + \frac{D}{z^{4}}$

For every $z$ , we have

$\frac{1}{9} (7 z^{2} + 55 z + 73) = A z^{3} + B z^{2} + C z + D$

For $z = 0$

$\frac{73}{9} = 0 + 0 + 0 + D \Rightarrow D = \frac{73}{9}$

For $z = 1$

$\frac{135}{9} = A + B + C + \frac{73}{9}$ $\Rightarrow A + B + C = \frac{62}{9} E Q_{1}$

For $z = - 1$

$\frac{25}{9} = - A + B - C + \frac{73}{9}$ $\Rightarrow - A + B - C = - \frac{16}{3} E Q_{2}$

For $z = - 2$

$- 1 = - 8 A + 4 B - 2 C + \frac{73}{9}$ $\Rightarrow - 4 A + 2 B - C = - \frac{41}{9} E Q_{3}$

If we add $E Q_{1}$ and $E Q_{2}$ together, we get $2 B = \frac{14}{9} \Rightarrow B = \frac{7}{9}$

Substituting $B = \frac{7}{9}$ in $E Q_{2}$ and $E Q_{3}$ , we get and from one of these simplified equations, we obtain $C = \frac{55}{9}$

Therefore

$A = 0, B = \frac{7}{9}, C = \frac{55}{9}, D = \frac{73}{9},$ and

$\frac{7 x^{2} + 9 x - 1}{(3 x - 2)^{4}} = \frac{7}{9 (3 x - 2)^{2}} + \frac{55}{9 (3 x - 2)^{3}} + \frac{73}{9 (3 x - 2)^{4}}$

Exercise 13.18. $\frac{x^{2}}{(x^{3} - 8) (x - 2)}$ .

Answer

$\frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x - 2)^{2}} - \frac{x}{6 (x^{2} + 2 x + 4)}$ .

Solution

Recall that $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ So we can write $x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ and hence $\frac{x^{2}}{(x^{3} - 8) (x - 2)} = \frac{x^{2}}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4)}$ To split the given expression into fractions, we write $\frac{x^{2}}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2 x + 4}$ For every $x$ , we have $x^{2} = A (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + B (x^{2} + 2 x + 4) + (C x + D) (x - 2)^{2}$ For $x = 2$ : $4 = 0 + 12 B + 0 \Rightarrow B = \frac{1}{3}$ Knowing $B = \frac{1}{3}$ , for $x = 0$ : $0 = A (- 2) (4) + \frac{4}{3} + 4 D$

$\Rightarrow - 2 A + D = - \frac{1}{3} E Q_{1}$

Knowing $B = \frac{1}{3}$ , for $x = 1$ : $1 = A (- 1) (7) + \frac{7}{3} + (C + D)$

$\Rightarrow - 7 A + C + D = - \frac{4}{3} E Q_{2}$

Similarly for $x = - 1$ : $1 = A (- 3) (3) + 1 + 9 (D - C)$

$\Rightarrow - A - C + D = 0 E Q_{3}$

$E Q_{2} + E Q_{3} - 2 E Q_{1}$ is $- 4 A + 0 C + 0 D = - \frac{2}{3}$

$\Rightarrow A = \frac{1}{6}$

Since $- 2 A + D = - \frac{1}{3}$ , then $D = 0$ Since $- A - C + D = 0$ , $A = \frac{1}{6}$ , and $D = 0$ , we get $C = - \frac{1}{6} .$ Therefore, $\frac{x^{2}}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x - 2)^{2}} - \frac{x}{6 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Derivative of an Inverse Function

Consider the function $y = 3 x$ ; it can be expressed in the form $x = \frac{y}{3}$ ; this latter form is called the inverse function to the one originally given.

If $y = 3 x$ , $\frac{d y}{d x} = 3$ ; if $x = \frac{y}{3}$ , $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3}$ , and we see that $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} or \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d y} = 1.$

Consider $y = 4 x^{2}$ (for $x \geq 0$ ), $\frac{d y}{d x} = 8 x$ ; the inverse function is $x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2}, and \frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \sqrt{y}} = \frac{1}{4 \times 2 x} = \frac{1}{8 x} .$

Here again $\frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d y} = 1.$

It can be shown that for all functions which can be put into the inverse form, one can always write $\frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d y} = 1$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} .$

It follows that, being given a function, if it be easier to differentiate the inverse function, this may be done, and the reciprocal of the derivative of the inverse function gives the derivative of the given function itself.

Example 13.8. Suppose that we wish to differentiate $y = \sqrt{\frac{3}{x} - 1}$ .

We have seen one way of doing this, by writing $u = \frac{3}{x} - 1$ , and finding $\frac{d y}{d u}$ and $\frac{d u}{d x}$ . This gives $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{\frac{3}{x} - 1}} .$

If we had forgotten how to proceed by this method, or wished to check our result by some other way of obtaining the derivative, or for any other reason we could not use the ordinary method, we can proceed as follows: The inverse function³ is $x = \frac{3}{1 + y^{2}}$ . $\frac{d x}{d y} = - \frac{3 \times 2 y}{(1 + y^{2})^{2}} = - \frac{6 y}{(1 + y^{2})^{2}};$

hence $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = - \frac{(1 + y^{2})^{2}}{6 y} = - \frac{{(1 + \frac{3}{x} - 1)}^{2}}{6 \sqrt{\frac{3}{x} - 1}} = - \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{\frac{3}{x} - 1}} .$

Example 13.9. Let us take, as another example,

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{θ + 5}} .$

The inverse function is $θ = \frac{1}{y^{3}} - 5$ or $θ = y^{- 3} - 5$ , and $\frac{d θ}{d y} = - 3 y^{- 4} = - 3 \sqrt[3]{(θ + 5)^{4}} .$

It follows that $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{(θ + 5)^{4}}}$ , as might have been found otherwise.

We shall find this dodge most useful later on; meanwhile you are advised to become familiar with it by verifying by its means the results obtained in exercises 5, 6, 7 of the chapter on the Power Rule; Examples 9.1, 9.2, 9.4 ; and exercises 1, 2, 3 and 4 of the chapter on the Chain Rule.

You will surely realize from this chapter and the preceding, that in many respects the calculus is an art rather than a science: an art only to be acquired, as all other arts are, by practice. Hence you should work many examples, and set yourself other examples, to see if you can work them out, until the various artifices become familiar by use.

部分分式

情况一：分母的因子都是一次式 ( 𝒂 𝒙 + 𝒃 ) 且无重复

情况二：分母包含二次式2 ( 𝒂 𝒙 2 + 𝒃 𝒙 + 𝒄 ) 的因子且无重复

情况三：分母包含一次或二次因子且部分重复

部分分式在微分中的应用

练习

Derivative of an Inverse Function

情况一：分母的因子都是一次式 $(𝒂 𝒙 + 𝒃)$ 且无重复

情况二：分母包含二次式² $(𝒂 𝒙^{2} + 𝒃 𝒙 + 𝒄)$ 的因子且无重复