积分作为微分的逆运算

微分是这样一个过程：当我们已知 $y$（作为 $x$ 的函数）时，我们可以求出 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$。

与其他数学运算一样，微分过程也可以逆转；因此，如果对 $y=x^4$ 求微分得到 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^3$；那么如果从 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^3$ 开始，可以说逆转过程将得到 $y=x^4$。但这里出现了一个有趣的点。如果我们从以下任何一个函数开始：$x^4$、或 $x^4+a$、或 $x^4+c$、或 $x^4$ 加上任何常数，我们都会得到 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^3$。所以很明显，在从 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 反推回 $y$ 时，必须考虑到可能存在一个加上的常数，其值在通过其他方式确定之前是未知的。因此，如果对 $x^n$ 求微分得到 $n{x}^{n-1}$，那么从 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=n{x}^{n-1}$ 反推将得到 $y=x^n+C$；其中 $C$ 代表尚未确定的可能常数。

显然，在处理 $x$ 的幂时，反推的规则将是：将幂次增加 $1$，然后除以这个增加的幂次，并加上未确定的常数。

因此，在 $$\frac{dy}{dx}=x^n,$$ 的情况下，反推得到 $$y=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C.$$

如果对等式 $y=a{x}^n$ 求微分得到 $$\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1},$$ 那么从 $$\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1},$$ 开始并逆转过程，将得到 $$y=a{x}^n.$$ 这是常识。因此，当我们处理一个乘法常数时，只需将该常数作为积分结果的乘数即可。

因此，如果 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^2$，逆转过程得到 $y=\frac{4}{3}{x}^3$。

但这并不完整。因为我们必须记住，如果我们从 $$y=a{x}^n+C,$$ 开始，其中 $C$ 是任意常数，我们同样会得到 $$\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1}.$$

因此，当我们逆转过程时，必须始终记得加上这个未确定的常数，即使我们还不知道它的值是多少。

这个过程，即微分的逆过程，被称为积分；因为它包括在只知道 $dy$ 或 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 的表达式时，求出整个量 $y$ 的值。到目前为止，我们尽可能将 $dy$ 和 $dx$ 保持在一起作为导数；今后我们将更经常地将它们分开。

如果我们从一个简单的情况开始，$$\frac{dy}{dx}=x^2,$$ 我们可以将其写成，如果我们愿意的话，$$dy=x^{2}dx.$$

现在这是一个“微分方程”，它告诉我们 $y$ 的一个元素等于对应的 $x$ 元素乘以 $x^2$。现在，我们想要的是积分；因此，用适当的符号写下对两边进行积分的指令，如下：$$\int dy=\int x^{2}dx.$$

[关于积分读法的说明：上述内容应读作：

“积分 dee-wy 等于积分 eks-squared dee-eks。”]

我们还没有积分：我们只是写下了积分的指令——如果我们能做到的话。让我们试试。很多其他傻瓜都能做到——为什么我们不行呢？左边非常简单。$y$ 的所有小片段之和就是 $y$ 本身。所以我们可以立即写出：$$y=\int x^{2}dx.$$

但是当我们处理等式的右边时，我们必须记住，我们要加起来的总和不是所有的 $dx$，而是所有像 $x^{2}dx$ 这样的项；这不会等于 ${\displaystyle x^2\int dx}$，因为 $x^2$ 不是一个常数。因为一些 $dx$ 会乘以大的 $x^2$ 值，而另一些会乘以小的 $x^2$ 值，这取决于 $x$ 的具体值。所以我们必须思考我们所知道的关于积分是微分逆过程的知识。现在，我们处理 $x^n$ 时这个逆过程的规则是“将幂次增加一，然后除以这个增加的幂次相同的数”。也就是说，$x^{2}dx$ 将被改变¹为 $\frac{1}{3}{x}^3$。将其代入等式；但不要忘记在最后加上“积分常数” $C$。所以我们得到：$$y=\frac{1}{3}{x}^3+C.$$

你实际上已经执行了积分。多么简单！

让我们尝试另一个简单的例子。

设 $$\frac{dy}{dx}=a{x}^{12},$$ 其中 $a$ 是任意常数乘数。嗯，我们在之前发现，当微分时，$y$ 值中的任何常数因子都会原封不动地出现在 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 的值中。在积分的逆过程中，它因此也会重新出现在 $y$ 的值中。所以我们可以像以前一样开始工作，如下

这样就完成了。多么简单！

我们现在开始意识到，与微分相比，积分是一个寻找回去的路的过程。如果在微分过程中，我们曾经找到过任何特定的表达式——在这个例子中是 $a{x}^{12}$——我们就能找到回到导出它的 $y$ 的路。这两个过程之间的对比可以通过一位著名教师的以下评论来说明。如果一个陌生人被放在特拉法加广场，并被告知要找到去尤斯顿车站的路，他可能会觉得这项任务毫无希望。但如果他之前被人亲自从尤斯顿车站带到特拉法加广场，那么对他来说，找到回尤斯顿车站的路就会相对容易。

两个函数之和或差的积分

设 则

没有理由不分别对每一项进行积分：因为，正如之前所见，我们发现当我们对两个独立函数之和求微分时，导数就是这两个独立微分之和。所以，当我们逆向工作，进行积分时，积分将简单地是两个独立积分之和。

那么我们的指令将是：

如果其中任何一项是负量，那么积分中的对应项也将是负的。因此，差与和一样容易处理。

如何处理常数项

假设要积分的表达式中有一个常数项——比如这样：$$\frac{dy}{dx}=x^n+b.$$

这简单得可笑。因为你只需要记住，当你对表达式 $y=ax$ 求微分时，结果是 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$。因此，当你反过来进行积分时，常数会重新出现并乘以 $x$。所以我们得到

这里有很多例子可以用来练习你新获得的能力。

例子

所有这些都足够简单。让我们尝试另一种情况。

设

像以前一样进行，我们将写出

嗯，但是 $x^{-1}dx$ 的积分是什么？

如果你回顾一下对 $x^2$、$x^3$ 和 $x^n$ 等求微分的结果，你会发现我们从未从其中任何一个得到 $x^{-1}$ 作为 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 的值。我们从 $x^3$ 得到 $3x^2$；从 $x^2$ 得到 $2x$；从 $x^1$（即从 $x$ 本身）得到 $1$；但我们没有从 $x^0$ 得到 $x^{-1}$，有两个很好的理由。第一，$x^0$ 就是 $=1$，是一个常数，常数的导数是零（而不是 $x^{-1}$）。第二，即使我们通过幂法则对其求微分，它的导数将是 $0\times x^{-1}$，乘以零使其值为零！² 因此，当我们现在尝试积分 $x^{-1}dx$ 时，我们看到它并不包含在由规则给出的 $x$ 的幂次中：$$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C.$$ 这是一个例外情况。

嗯；但再试试。浏览从各种 $x$ 的函数得到的所有不同导数，并尝试在其中找到 $x^{-1}$。充分的搜索将表明，我们实际上确实得到了 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x^{-1}$ 作为对函数 $y=\ln x$ 求微分的结果（参见此处）。

那么，当然，既然我们知道对 $\ln x$ 求微分得到 $x^{-1}$，我们就知道，通过逆转过程，对 $dy=x^{-1}dx$ 积分将得到 $y=\ln x$。但我们不能忘记给定的常数因子 $a$，也不能省略加上未确定的积分常数。这给出了当前问题的解，$$y=a\ln x+C.$$ 当 $x$ 为负数时，上述公式不可接受，因为负数的对数是虚数。现在的问题是：当 时，什么函数求微分会给出 $x^{-1}$？当 时，我们可以取 $-x$ 的对数，因为 。让我们看看 $\ln (-x)$ 的导数是什么。为了对 $\ln (-x)$ 求微分，设 $u=-x$，然后应用链式法则： 因此 由于对 $\ln (-x)$ 求微分在 时给出 $x^{-1}$，因此在 时对 $dy=x^{-1}dx$ 积分将得到 $y=\ln (-x)$。知道了这一点，我们可以写出 其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是两个不一定相等的任意常数。对于任何不包含 $x=0$ 的区间，我们可以将这两种情况合并，写成 $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$ 其中 $|x|$ 称为 $x$ 的绝对值，定义为 因此，$$\int \frac{a}{x}dx=a\ln |x|+C.$$

总结如下

注意——这里请注意一个非常显著的事实，即如果我们碰巧不知道相应的微分，我们就无法在上述情况下进行积分。如果没有人发现对 $\ln x$ 求微分会得到 $x^{-1}$，那么我们在如何积分 $x^{-1}dx$ 这个问题上就会完全卡住。事实上，应该坦率地承认，这是积分学的一个奇特特征：——在对别的东西进行微分的逆过程产生你想要积分的那个表达式之前，你无法积分任何东西。即使在今天，也没有人能够找到表达式 $$\frac{dy}{dx}=a^{-x^2},$$ 的一般积分，因为 $a^{-x^2}$ 从未被发现是由对任何其他东西求微分得到的。

另一个简单的例子：

其他一些积分

既然我们知道积分是微分的逆运算，我们可以立即查阅我们已经知道的导数，看看它们是从哪些函数推导出来的。这为我们提供了以下现成的积分： （因为如果 $y=-{\displaystyle \frac{1}{e^x}}$，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{e^x\times 0-1\times e^x}{e^{2x}}}=e^{-x}$）。 此外，我们还可以推导出以下内容： （因为如果 $y=x\ln x-x$，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{x}{x}}+\ln x-1=\ln x$）。 （因为 ${\displaystyle {\log }_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}}$ 且 ${\displaystyle \int \ln xdx=x(\ln x-1)+\text{某个常数}}$） \（因为如果 $y=\sin ax$，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a\cos ax$；因此要得到 $\cos ax$，必须对 $y={\displaystyle \frac{1}{a}}\sin ax$ 求导）。

也尝试一下 ${\cos }^2\theta$；一个小技巧可以简化问题： $$\begin{array}{c}\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1;\end{array}$$ 因此 $$\begin{array}{c}{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(\cos 2\theta +1),\end{array}$$

并且 （另见 此处）。

另见 标准形式表。你应该为自己制作这样一个表格，只放入你已经成功微分和积分的一般函数。确保它不断增长！

练习