整合

这个伟大的秘密已经被揭示：这个神秘的符号 ${\displaystyle \int }$，它毕竟只是一个拉长的 $S$，仅仅意味着“……的和”，或“所有此类量的和”。因此，它类似于另一个符号 $\sum$（希腊字母 Sigma），它也是求和的符号。然而，在数学家使用这些符号的实践中存在这样一个区别：$\sum$ 通常用于表示有限个量的和，而积分符号 ${\displaystyle \int }$ 通常用于表示大量无限小的量的总和，实际上就是构成所需总量的那些元素。因此 ${\displaystyle \int dy=y}$，且 ${\displaystyle \int dx=x}$。

任何人都能理解，任何事物的整体都可以被想象成由许多小部分构成；部分越小，数量就越多。因此，一条一英寸长的线段可以被想象成由 $10$ 段组成，每段长 $\frac{1}{10}$ 英寸；或者由 $100$ 段组成，每段长 $\frac{1}{100}$ 英寸；或者由 $1,000,000$ 段组成，每段长 $\frac{1}{1,000,000}$ 英寸；或者，将思路推到可想象的极限，它可以被视为由无限多个元素组成，每个元素都无穷小。

是的，你会说，但这样想有什么用呢？为什么不直接把它当作一个整体来思考呢？简单的原因是，在大量情况下，如果不计算许多小部分的总和，就无法计算出事物整体的规模。“积分”的过程使我们能够计算出否则无法直接估算的总量。

让我们先举一两个简单的例子来熟悉一下这种将许多独立部分求和的概念。

考虑这个级数： $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots$$

这里，级数的每一项都是前一项的一半。如果我们能一直加到无穷多项，总和是多少？答案是 $2$。如果你愿意，可以把它想象成一条线段。从

一英寸开始；加上半英寸，再加四分之一英寸；再加八分之一英寸；依此类推。如果在操作的任何一点停下来，总会缺少一块才能凑成完整的 $2$ 英寸；而缺少的那一块总是与最后添加的那一块大小相同。因此，如果我们在拼凑了 $1$、$\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 之后停下来，就会缺少 $\frac{1}{4}$。如果我们继续加到 $\frac{1}{64}$，仍然会缺少 $\frac{1}{64}$。所需的剩余部分总是等于最后添加的项。只有通过无限次的操作，我们才能达到实际的 $2$ 英寸。实际上，当我们得到小到无法绘制的片段时，我们就达到了这个目标——那大约是在 $10$ 项之后，因为第11项是 $\frac{1}{1024}$。如果我们想进行到连最先进的测量仪器都无法检测的程度，我们只需进行到大约 $40$ 项。典型的光学显微镜甚至无法显示第 ${18}^{\text{th}}$ 项！所以，无限次的操作毕竟不是什么可怕的事情。积分 就是所有这些的总和。但是，正如我们将看到的，在某些情况下，积分学使我们能够获得无限次操作结果的精确总量。在这些情况下，积分学为我们提供了一种快速且简便的方法来获得结果，否则就需要进行无休止的复杂计算。因此，我们最好抓紧时间学习如何积分。

曲线的斜率与曲线本身

让我们先对曲线的斜率做一些初步探讨。因为我们已经看到，对曲线求导意味着找到其斜率（或在不同点的斜率）的表达式。如果斜率（或各点斜率）已知，我们能否执行反向过程，即重建整个曲线？

回到示例 [Case2]。这里我们有最简单的曲线，一条斜线，其方程为 $$y=ax+b.$$

我们知道，这里 $b$ 表示当 $x=0$ 时 $y$ 的初始高度，而 $a$，即 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$，是直线的“斜率”。这条直线具有恒定的斜率。沿着它，基本三角形

的高与底之比都相同。假设我们取有限大小的 $dx$ 和 $dy$，使得 $10$ 个 $dx$ 构成一英寸，那么就会有十个像这样的小三角形

现在，假设我们被要求仅根据 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$ 这一信息来重建“曲线”。我们能做什么？仍然取有限大小的 $d$，我们可以画出 $10$ 个斜率相同的小三角形，然后将它们首尾相接，像这样：

并且，由于所有三角形的斜率相同，它们会连接起来，如上图所示，形成一条斜率为正确值 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$ 的斜线。无论我们将 $dy$ 和 $dx$ 视为有限还是无穷小，因为它们都相同，显然 ${\displaystyle \frac{y}{x}}=a$，如果我们把 $y$ 算作所有 $dy$ 的总和，把 $x$ 算作所有 $dx$ 的总和。但是我们应该把这条斜线放在哪里呢？是从原点 $O$ 开始，还是更高？由于我们拥有的唯一信息是斜率，我们没有任何关于在 $O$ 之上特定高度的指示；实际上，初始高度是未确定的。无论初始高度如何，斜率都是相同的。因此，让我们猜测一下可能需要的值，并从 $O$ 上方高度 $C$ 处开始画这条斜线。也就是说，我们得到方程 $$y=ax+C.$$

现在变得很明显，在这种情况下，添加的常数意味着当 $x=0$ 时 $y$ 所具有的特定值。

现在让我们考虑一个更难的情况，一条斜率不是常数，而是越来越大的曲线。假设向上的斜率随着 $x$ 的增长而成比例地增大。用符号表示就是： $$\frac{dy}{dx}=ax.$$ 或者，举一个具体的例子，取 $a=\frac{1}{5}$，所以 $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5}x.$$

那么，我们最好先计算一下在不同 $x$ 值下的几个斜率值，并画出它们的小示意图。

当

$x=0$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$
$x=1$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.2$
$x=2$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.4$
$x=3$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.6$
$x=4$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.8$
$x=5$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1.0$

现在尝试将这些片段拼凑起来，放置每个片段使其底边的中点位于正确的右侧距离处，并使它们在角部连接起来；如下所示（见下图）。结果当然不是一条平滑的曲线：但它是对平滑曲线的一个近似。

如果我们取长度减半、数量加倍的小段，如下一张图所示，我们会得到更好的近似。但要得到完美的曲线，我们应该让每个 $dx$ 及其对应的 $dy$ 无穷小，并且数量无穷多。

那么，任何 $y$ 的值应该是多少呢？显然，在曲线上的任意一点 $P$，$y$ 的值将是所有从 $0$ 到该水平的小 $dy$ 的总和，也就是说，${\displaystyle \int dy=y}$。并且由于每个 $dy$ 等于 $\frac{1}{5}x\cdot dx$，因此整个 $y$ 将等于所有像 $\frac{1}{5}x\cdot dx$ 这样的小段的总和，或者，正如我们写的那样，${\displaystyle \int \frac{1}{5}x\cdot dx}$。

现在，如果 $x$ 是常数，${\displaystyle \int \frac{1}{5}x\cdot dx}$ 就等于 $\frac{1}{5}x\int dx$，即 $\frac{1}{5}{x}^2$。但是 $x$ 从 $0$ 开始，增加到点 $P$ 处 $x$ 的特定值，因此它从 $0$ 到该点的平均值是 $\frac{1}{2}x$。因此 ${\displaystyle \int \frac{1}{5}xdx=\frac{1}{10}{x}^2}$；或者 $y=\frac{1}{10}{x}^2$。

但是，与之前的情况一样，这需要加上一个未确定的常数 $C$，因为我们没有被告知当 $x=0$ 时曲线将从原点上方多高处开始。因此，我们将下面绘制的曲线方程写为 $$y=\frac{1}{10}{x}^2+C.$$

练习