微分的几何意义

考虑一下导数可以赋予什么样的几何意义是有用的。

首先，任何关于 $x$ 的函数，例如 $x^{2}$ 、 $\sqrt{x}$ 或 $a x + b$ ，都可以绘制成曲线；如今许多学生都熟悉曲线绘制的过程。有多种工具可用于绘制曲线，例如图形计算器、Wolfram Alpha、¹ MATLAB、Python，甚至Microsoft Excel。

在下图中，设 $P Q R$ 为相对于 $x$ 轴和 $y$ 轴绘制的一条曲线的一部分。考虑该曲线上的任意一点 $Q$ ，其坐标为 $(x, y)$ （即该点的横坐标为 $x$ ，纵坐标为 $y$ ）。

现在观察当 $x$ 变化时 $y$ 如何变化。如果使 $x$ 向右增加一个小的增量 $d x$ ，将会观察到 $y$ 也（在这条特定的曲线上）增加一个小的增量 $d y$ （因为这条特定的曲线恰好是一条上升曲线）。那么 $d y$ 与 $d x$ 的比值就是衡量曲线在 $Q$ 和 $T$ 两点之间上升程度的量度。事实上，从图中可以看出， $Q$ 和 $T$ 之间的曲线有许多不同的斜率，因此我们很难说曲线在 $Q$ 和 $T$ 之间的斜率。然而，如果 $Q$ 和 $T$ 彼此非常接近，以至于曲线的微小部分 $Q T$ 几乎是直的，那么可以说比值 $\frac{d y}{d x}$ 就是曲线沿 $Q T$ 的斜率。向两侧延伸的直线 $Q T$ 仅与曲线沿 $Q T$ 部分相切，如果这部分无限小，那么该直线将几乎只在一点与曲线相切，因此是曲线的一条切线。

这条曲线的切线显然与 $Q T$ 具有相同的斜率，因此 $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ 就是曲线在点 $Q$ 处的切线的斜率，其中 $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ 的值是在该点求得的。

我们已经看到，“曲线的斜率”这个简短的表述没有精确的含义，因为一条曲线有许多斜率——事实上，曲线的每一小部分都有不同的斜率。然而，“曲线在某一点的斜率”是一个完全明确的概念；它是指恰好位于该点处的曲线的一小部分的斜率；并且我们已经看到，这与“曲线在该点的切线的斜率”是相同的。

曲线在某一点的斜率就是曲线在该点的切线的斜率。

注意， $d x$ 是向右的一个小步长，而 $d y$ 是相应的向上小步长。这些步长必须尽可能短——实际上是无限短——尽管在图中我们不得不将它们表示为并非无穷小的线段，否则它们将无法被看到。

今后我们将大量利用这一事实，即 $\frac{𝒅 𝒚}{𝒅 𝒙}$ 表示曲线在任何一点的斜率。

如果一条曲线在某一点以 $45^{\circ}$ 角上升，如下图所示，那么 $d y$ 和 $d x$ 将相等，且 $\frac{d y}{d x} = 1$ 的值。

如果曲线比 $45^{\circ}$ 更陡地上升（下图），那么 $\frac{d y}{d x}$ 将大于 $1$ 。

如果曲线非常平缓地上升，如下图所示，那么 $\frac{d y}{d x}$ 将是一个小于 $1$ 的分数。

对于水平线，或曲线中的水平部分， $d y = 0$ ，因此 $\frac{d y}{d x} = 0$ 。

如果曲线向下倾斜，如下图所示， $d y$ 将是一个向下的步长，因此必须视为负值；因此 $\frac{d y}{d x}$ 也将带有负号。

如果“曲线”恰好是一条直线，如下图中所示，那么 $\frac{d y}{d x}$ 的值在其所有点上都相同。换句话说，它的斜率是常数。

如果一条曲线在向右延伸时变得越来越向上弯曲，那么随着陡峭程度的增加， $\frac{d y}{d x}$ 的值将变得越来越大，如下图所示。

如果一条曲线在延伸过程中变得越来越平坦，那么当到达较平坦的部分时， $\frac{d y}{d x}$ 的值将变得越来越小，如下图所示。

如果一条曲线先下降，然后再上升，如下图所示，呈现一个向上的凹形，那么显然 $\frac{d y}{d x}$ 将首先为负，随着曲线变平其值减小，然后在到达曲线谷底时为零；从这一点开始， $\frac{d y}{d x}$ 将具有不断增大的正值。在这种情况下，称 $y$ 经过一个极小值。 $y$ 的极小值不一定是 $y$ 的最小值，它是与谷底相对应的 $y$ 值；例如，在下图中，与谷底相对应的 $y$ 值是 $1$ ，而 $y$ 在其他地方取比这更小的值。极小值的特征是 $y$ 必须在其两侧都增加。

注意——对于使 $y$ 为极小值的特定 $x$ 值， $\frac{d y}{d x} = 0$ 的值。

如果一条曲线先上升然后下降，那么 $\frac{d y}{d x}$ 的值将首先为正；然后为零，当到达顶点时；然后为负，当曲线向下倾斜时，如下图所示。在这种情况下，称 $y$ 经过一个极大值，但 $y$ 的极大值不一定是 $y$ 的最大值。在上图中， $y$ 的极大值是 $2 \frac{1}{3}$ ，但这绝不是 $y$ 在曲线其他点处可能达到的最大值。

注意——对于使 $y$ 为极大值的特定 $x$ 值， $\frac{d y}{d x} = 0$ 的值。

如果一条曲线具有下图中所示的特殊形状，那么 $\frac{d y}{d x}$ 的值将始终为正；但会有一个特定位置斜率最平缓，其中 $\frac{d y}{d x}$ 的值将是一个极小值；也就是说，比曲线任何其他部分的值都小。

如果一条曲线具有下图中所示的形状，那么 $\frac{d y}{d x}$ 的值在上部将为负，在下部为正；而在曲线的尖端处，它实际上变成垂直的， $\frac{d y}{d x}$ 的值将为无穷大。

总结如下：

当 $x$ 增加时

如果 $\frac{d y}{d x} > 0$ ， $y$ 增加；曲线向右上升。

如果 $\frac{d y}{d x} < 0$ ， $y$ 减少；曲线向右下降。

现在我们理解了 $\frac{d y}{d x}$ 衡量曲线在任何一点的陡峭程度，让我们转向一些我们已经学会如何求导的方程。

例 1.

例 10.1. 作为最简单的例子，考虑： $y = x + b .$

它在下图中绘制出来，使用 $x$ 和 $y$ 的等比例尺度。如果我们设 $x = 0$ ，那么相应的纵坐标将是 $y = b$ ；也就是说，“曲线”在高度 $b$ 处与 $y$ 轴相交。从这里开始它以 $45^{\circ}$ 角上升；因为无论我们给 $x$ 赋予什么正值，我们都有相等的 $y$ 上升。该线的梯度为 $1$ 比 $1$ 。

现在对 $y = x + b$ 求导，根据我们已经学会的规则，我们得到 $\frac{d y}{d x} = 1$ 。

这条线的斜率是这样的：每向右走一小步 $d x$ ，我们就向上走相等的一小步 $d y$ 。并且这个斜率是常数——始终相同的斜率。

例 2.

例 10.2. 考虑另一个例子： $y = a x + b .$ 我们知道这条曲线，像前一条一样，将从 $y$ 轴上的高度 $b$ 开始。但在我们绘制曲线之前，让我们通过求导来找到它的斜率；这给出 $\frac{d y}{d x} = a$ 。斜率将是常数，成一个角度，其正切在这里称为 $a$ 。让我们给 $a$ 赋一个数值——比如 $\frac{1}{3}$ 。那么我们必须给它一个这样的斜率，使得它每 $3$ 个单位上升 $1$ 个单位；或者说 $d x$ 将是 $d y$ 的 $3$ 倍；如下图中放大的那样。

所以，在下图中以这个斜率画出这条线。

现在来看一个稍微难一点的例子。

例 3.

例 10.3. 设 $y = a x^{2} + b .$

同样，曲线将从原点上方高度 $b$ 处的 $y$ 轴开始。

现在求导。[如果你忘记了，返回去；或者，更确切地说，不要返回去，而是自己思考出求导过程。] $\frac{d y}{d x} = 2 a x .$

这表明陡峭程度不是常数：它随着 $x$ 的增加而增加。在起始点 $P$ 处，其中 $x = 0$ ，曲线（下图）没有陡峭程度——也就是说，它是水平的。在原点的左侧，其中 $x$ 为负值， $\frac{d y}{d x}$ 也将为负值，或者将从左向右下降，如图所示。

让我们通过计算一个具体实例来说明这一点。取方程 $y = \frac{1}{4} x^{2} + 3,$ 并对其求导，我们得到 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x .$ 现在给 $x$ 分配几个连续的值，比如从 $0$ 到 $5$ ；并通过第一个方程计算相应的 $y$ 值；通过第二个方程计算 $\frac{d y}{d x}$ 的值。将结果列表，我们得到：

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$3$	$3 \frac{1}{4}$	$4$	$5 \frac{1}{4}$	$7$	$9 \frac{1}{4}$
$\frac{d y}{d x}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$1 \frac{1}{2}$	$2$	$2 \frac{1}{2}$

然后将它们绘制成两条曲线，图 10.18 和图 10.19；在图 10.18 中绘制 $y$ 相对于 $x$ 的值，在图 10.19 中绘制 $\frac{d y}{d x}$ 相对于 $x$ 的值。对于任何给定的 $x$ 值，第二条曲线中纵坐标的高度与第一条曲线的斜率成正比。

如果一条曲线出现一个突然的尖点，如下图中所示，那么该点的斜率会突然从向上倾斜变为向下倾斜。在这种情况下， $\frac{d y}{d x}$ 显然会经历一个从正值到负值的突变。

以下示例进一步展示了刚才解释的原理的应用。

例 4.

例 10.4. (a) 求曲线 $y = \frac{1}{2 x} + 3,$ 在点 $x = - 1$ 处的切线斜率。 (b) 求该切线与曲线 $y = 2 x^{2} + 2$ 所成的角度。

解. (a) 切线的斜率就是曲线在它们相切处的斜率；即，该点处曲线的 $\frac{d y}{d x}$ 。这里 $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x^{2}}$ ，对于 $x = - 1$ ， $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2}$ ，这就是该点处切线和曲线的斜率。切线是一条直线，其方程为 $y = a x + b$ ，其斜率为 $\frac{d y}{d x} = a$ ，因此 $a = - \frac{1}{2}$ 。此外，如果 $x = - 1$ ， $y = \frac{1}{2 (- 1)} + 3 = 2 \frac{1}{2}$ ；由于切线经过该点，该点的坐标必须满足切线方程，即 $y = - \frac{1}{2} x + b,$ 所以 $2 \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \times (- 1) + b$ 且 $b = 2$ ；因此切线方程为 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ （见下图）。

(b) 现在，当两条曲线相交时，交点作为两条曲线的公共点，其坐标必须满足每条曲线的方程；也就是说，它必须是两条曲线方程联立而成的方程组的一个解。这里，曲线相交于由以下方程组的解给出的点： $或$

即， $x (2 x + \frac{1}{2}) = 0.$

该方程的解为 $x = 0$ 和 $x = - \frac{1}{4}$ （见下图）。曲线 $y = 2 x^{2} + 2$ 在任何点的斜率为 $\frac{d y}{d x} = 4 x .$

对于 $x = 0$ 的点，该斜率为零；曲线是水平的。对于点 $x = - \frac{1}{4}, \frac{d y}{d x} = - 1;$ 因此该点处的曲线向右下方倾斜，与水平方向所成角 $θ$ 满足 $\tan θ = 1$ ；即与水平方向成 $45^{\circ}$ 角。

直线的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ；即它向右下方倾斜，与水平方向所成角 $ϕ$ 满足 $\tan ϕ = \frac{1}{2}$ ；即角度为。因此，在第一个交点处，曲线与直线成角，而在第二个交点处，它们所成角为（见下图）。

例 5.

例 10.5. 一条直线要通过坐标为 $x = 2$ ， $y = - 1$ 的点，并与曲线 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 相切。求切点的坐标。
注：点 $(2, - 1)$ 不在曲线 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 上。

解. 切线的斜率必须与曲线的 $\frac{d y}{d x}$ 相同；即 $2 x - 5$ 。

直线方程为 $y = a x + b$ ，由于它满足 $x = 2$ ， $y = - 1$ 的值，则 $- 1 = a \times 2 + b$ ；此外，它的 $\frac{d y}{d x} = a = 2 x - 5$ [因为 $y = a x + b$ 是切线，其斜率 $a$ 必须与 $\frac{d (x^{2} - 5 x + 6)}{d x}$ 相同]。

切点的 $x$ 和 $y$ 也必须同时满足切线方程和曲线方程。

于是我们有四个关于 $a$ ， $b$ ， $x$ ， $y$ 的方程。

方程 (i) 和 (ii) 给出 $x^{2} - 5 x + 6 = a x + b$ 。

将 $a$ 和 $b$ 的值代入其中，我们得到 $x^{2} - 5 x + 6 = (2 x - 5) x - 1 - 2 (2 x - 5),$ 化简为 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，其解为： $x = 3$ 和 $x = 1$ 。分别代入 (i)，得到 $y = 0$ 和 $y = 2$ ；因此两个切点分别为 $x = 1$ ， $y = 2$ 和 $x = 3$ ， $y = 0$ （见下图）。

注.—在所有涉及曲线的练习中，学生将通过实际绘制曲线来验证所得推论，这将极具启发性。

练习

练习 1.

练习 10.1. 绘制曲线 $y = \frac{3}{4} x^{2} - 5$ ，使用 $x$ 和 $y$ 的等比例尺度。测量对应于不同 $x$ 值的点处其斜率的角度。

通过对方程求微分，求出斜率的表达式；并查阅自然正切表，看其是否与测量的角度一致。

解

$y = \frac{3}{4} x^{2} - 5 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} x$

当 $x = - 3$ 时， $\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{2}$
从图中：切线的斜率 $= \frac{- 9}{2} = - 4.5$ 。它们一致。

当 $x = - 2$ 时， $\frac{d y}{d x} = - 3$
从图中：切线的斜率 $= \frac{- 6}{2} = - 3$ 。它们一致。

当 $x = - 1$ 时， $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2}$
从图中：切线的斜率 $= \frac{- 3}{2} = - 1.5$ 。它们一致。

当 $x = 0$ 时， $\frac{d y}{d x} = 0$
从图中：切线是水平的。因此其斜率为零。它们一致。

当 $x = 1$ 时， $\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2}$
从图中：切线的斜率 $= \frac{3}{2} = 1.5$ 。它们一致。

当 $x = 2$ 时， $\frac{d y}{d x} = 3$
从图中：切线的斜率 $= \frac{6}{2} = 3$ 。它们一致。

当 $x = 3$ 时， $\frac{d y}{d x} = \frac{9}{2}$
从图中：切线的斜率 $= \frac{9}{2} = 4.5$ 。它们一致。

练习 2.

练习 10.2. 求曲线 $y = 0.12 x^{3} - 2,$ 在 $x = 2$ 这个特定点处的斜率。

答案

$1.44$ .

解

当 $x = 2, \frac{d y}{d x} = 1.44$ .

因此，曲线在 $x = 2$ 的点处的斜率为 $1.44$ .

练习 3.

练习 10.3. 如果 $y = (x - a) (x - b)$ ，证明在曲线上 $\frac{d y}{d x} = 0$ 的特定点处， $x$ 的值为 $\frac{1}{2} (a + b)$ .

解

$y = (x - a) (x - b)$ 使用乘积法则：令 $\frac{d y}{d x} = 0$ ，我们得到 $x = \frac{a + b}{2} .$

练习 4.

练习 10.4. 求方程 $y = x^{3} + 3 x$ 的 $\frac{d y}{d x}$ ；并计算对应于 $x = 0$ ， $x = \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ ， $x = 2$ 各点的 $\frac{d y}{d x}$ 数值。

答案

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3$ ；数值分别为： $3$ ， $3 \frac{3}{4}$ ， $6$ ，和 $15$ .

解

当 $x = 0$ 时， $\frac{d y}{d x} = 3$ .

当 $x = 0$ 时， $\frac{d y}{d x} = 3 + \frac{3}{4} = 3 \frac{3}{4} = 3.75$ .

当 $x = 1$ 时， $\frac{d y}{d x} = 6$ .

当 $x = 2$ 时， $\frac{d y}{d x} = 15$ .

练习 5.

练习 10.5. 在方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的曲线上，求斜率 $= 1$ 的那些点处的 $x$ 值。

答案

$\pm \sqrt{2}$ .

解

$x^{2} + y^{2} = 4$ 解出 $y$ ： $y = \pm \sqrt{4 - x^{2}} = \pm {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

为了求 $\frac{d y}{d x}$ ，令 $u = 4 - x^{2}$ 。则 $y = \pm u^{\frac{1}{2}}$ 且

首先考虑 $-$ 号：

$- x = \sqrt{4 - x^{2}}$

必须有 $x \leq 0$ ，因为右边是非负的。

只有 $x = - \sqrt{2}$ 是可接受的。

当 $x = - \sqrt{2}$ 时：

$y = + \sqrt{4 - x^{2}} = + \sqrt{2}$

现在考虑 $+$ 号：

$x = \sqrt{4 - x^{2}}$ 必须有 $x \geq 0$ ，因为右边总是非负的

只有 $x = + \sqrt{2}$ 是可接受的。

当 $x = + \sqrt{2}$ 时： $y = - \sqrt{4 - x^{2}} = - \sqrt{2}$

因此，在两点 $(- \sqrt{2}, + \sqrt{2})$ 和 $(+ \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ 处，曲线的斜率为 1。

练习 6.

练习 10.6. 求方程为 $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ 的曲线上任意点的斜率；并给出在 $x = 0$ 处以及 $x = 1$ 处斜率的数值。

答案

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{9} \frac{x}{y}$ . 在 $x = 0$ 处斜率为零；在 $x = 1$ 处斜率为 $\mp \frac{1}{3 \sqrt{2}}$ .

解

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

方法 1： 使用链式法则

因此 $\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{1}{9} x}{\frac{y}{4}} = - \frac{4}{9} \frac{x}{y}$ 或

方法 2： 如果我们解 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 求 $y$ ，可以得到相同的结果。即

为了求 $\frac{d y}{d x}$ ，令 $x = 1 - \frac{x^{2}}{9}$ 。则 $y = \pm 2 u^{\frac{1}{2}}$ 且

当 $x = 0, \frac{d y}{d x} = 0$

当 $x = 1, \frac{d y}{d x} = \mp \frac{2}{3 \sqrt{8}} = \mp \frac{1}{3 \sqrt{2}} .$ 更具体地说，当 $x = 1$ 时，如果 $y > 0$ ，则 $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{2}}$ ，如果 $y < 0$ ，则 $\frac{d y}{d x} = + \frac{1}{3 \sqrt{2}}$ .

练习 7.

练习 10.7. 曲线 $y = 5 - 2 x + 0.5 x^{3}$ 的一条切线方程为 $y = m x + n$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是常数。如果切点的横坐标为 $x = 2$ ，求 $m$ 和 $n$ 的值。

答案

$m = 4$ ， $n = - 3$ .

解

$y = 5 - 2 x + 0.5 x^{3}$

$\frac{d y}{d x} = - 2 + 1.5 x^{2}$

当 $x = 2, \frac{d y}{d x} = 4$ .

当 $x = 2, y = 5$ .

斜率为 4 且经过点 $(2, 5)$ 的直线方程为 $y - 5 = 4 (x - 2)$ 或 $y = 4 x - 3$ 因此，

$m = 4 且 n = - 3$

练习 8.

练习 10.8. 两条曲线 $y = 3.5 x^{2} + 2 和 y = x^{2} - 5 x + 9.5$ 相交所成的角是多少？²

答案

交点在 $x = 1$ ， $x = - 3$ 处。角度分别为，.

解

首先，我们需要计算这两条曲线在哪些点相交：

令两条曲线的方程相等：

$3.5 x^{2} + 2 = x^{2} - 5 x + 9.5$ $\Rightarrow 2.5 x^{2} + 5 x - 7.5 = 0$

因此，这两条曲线在 $x = - 3$ 和 $x = 1$ 处相交。

现在我们需要求出这两条曲线在 $x = 3$ 和 $x = 1$ 处的斜率。

当 $x = - 3$ 时，第一条曲线的斜率为 $- 21$ ，第二条曲线的斜率为 $- 11$ .

即 $\tan α = - 21$ 且 $\tan β = - 11$ ，其中 $α$ 和 $β$ 是它们的切线与 $x$ 轴正方向所成的角。

$\begin{matrix} \tan α = - 21 \Rightarrow α = \arctan (- 21) \approx - 1.52 rad \\ 或 α \approx - {87.27}^{\circ} \\ \tan β = - 11 \Rightarrow β = \arctan (- 11) \approx - 1.48 rad \\ 或 β \approx - {84.81}^{\circ} \end{matrix}$ 因此，当 $x = 3$ 时，它们之间的夹角为 $87.27 - 84.81 = {2.47}^{\circ}$ 或

$角度$

类似地，当 $x = 1$ 时，第一条曲线的斜率为 $7$ . $\tan α = 7 \Rightarrow α = \arctan 7 \approx 1.429 rad$ 或 $α \approx {81.87}^{\circ}$

第二条曲线的斜率为 $- 3$ . $\tan β = - 3 \Rightarrow β = \arctan (- 3) \approx - 1.249 rad$ 或 $β \approx - {71.57}^{\circ}$ 因此，当 $x = 1$ 时，它们之间的夹角为 $81.87 + 71.57 = 153.44$ 或 $角度$

练习 9.

练习 10.9. 在曲线 $y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$ 上，对应于 $x = 3$ 和 $x = 4$ 的点处绘制切线。求这两条切线的交点坐标以及它们之间的夹角。

答案

交点坐标为 $x = \frac{25}{7} \approx 3.57$ ， $y = \frac{25}{7} \approx 3.57$ 。角度为 .

解

我们考虑 $y > 0$ 的情况。 $y < 0$ 的情况可以通过对称性得到。

当 $x = 3, \frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{4}$ .

当 $x = 3, y = 4$ .

因此在 $x = 3$ 且 $y > 0$ 处的切线方程为 $y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 3)$ 或 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$

当 $x = 4, \frac{d y}{d x} = - \frac{4}{3}$ .

当 $x = 4, y = 3$ .

切线方程为

$y - 3 = - \frac{4}{3} (x - 4)$ 或 $y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

为了求在 $x = 3$ 和 $x = 4$ 处（对于 $y > 0$ ）的切线的交点，我们令这两条切线的方程相等：

当 $x = \frac{25}{7}, y = - \frac{3}{4} \times \frac{25}{7} + \frac{25}{4} = \frac{25}{7} \approx 3.57$ . 因此，这两条切线相交于点 $(\frac{25}{7}, \frac{25}{7}) \approx (3.57, 3.57)$ .

由于第一条切线的斜率为 $- 3 / 4$ ，它与正 $x$ -轴所成角度的斜率为 $α = \arctan (- \frac{3}{4}) \approx - 0.643 弧度$ 或 $α \approx - {36.87}^{\circ}$ 类似地，第二条切线的斜率为 $- \frac{4}{3}$ ，因此它与正 $x$ -轴所成角度为 $β = \arctan (- \frac{4}{3}) \approx - 0.927 弧度$ 或 $β \approx - {53.13}^{\circ}$

因此，它们之间的夹角为 ${53.13}^{\circ} - {36.87}^{\circ} = {16.26}^{\circ}$ 或

练习 10.

练习 10.10. 一条直线 $y = 2 x - b$ 与曲线 $y = 3 x^{2} + 2$ 相切于一点。求切点的坐标以及 $b$ 的值。

答案

$x = \frac{1}{3}$ , $y = 2 \frac{1}{3}$ , $b = - \frac{5}{3}$ .

解答

直线 $y = 2 x - b$ 的斜率为 2。我们需要找到曲线 $y = 3 x^{2} + 2$ 上切线斜率为 2 的点。对 $y = 3 x^{2} + 2$ 求导

$\frac{d y}{d x} = 6 x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ 当 $x = \frac{1}{3}$ 时， $y = 3 \times \frac{1}{3^{2}} + 2 = \frac{7}{3}$ .

因此，切点为 $(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$ .

该点处的切线方程为 $y - \frac{7}{3} = 2 (x - \frac{1}{3})$ 或 $y = 2 x + \frac{5}{3}$

因此 $b = - \frac{5}{3}$

你可以前往 https://www.wolframalpha.com/，在搜索栏中直接输入“plot x^2+sin x from x=-2 to x=3”来绘制曲线 $x^{2} + \sin x$ 在 $x = - 2$ 和 $x = 3$ 之间的图形↩︎

两条曲线之间的夹角是指它们切线之间的夹角。↩︎