变化率：速度与加速度

微积分中一些最重要的问题，是那些时间作为自变量的问题，我们必须思考当时间变化时，其他某个量随之变化的值。有些事物随着时间的推移而变大；另一些事物则变小。火车从起点出发行驶的距离，随着时间的推移不断增加。树木随着岁月流逝而长高。哪一样生长得更快：一株 $12$ 英寸高的植物，在一个月后长到 $14$ 英寸高；还是一棵 $12$ 英尺高的树，在一年后长到 $14$ 英尺高？

在本章中，我们将大量使用“率”这个词。它与济贫税或水费无关（尽管即使在这里，这个词也暗示一种比例——一个比率——每英镑多少便士）。甚至与出生率或死亡率也无关，尽管这些词暗示每千人中出生或死亡的人数。当一辆汽车从我们身边呼啸而过时，我们会说：多快的速度！当一个挥霍者大肆挥霍金钱时，我们会评论说，那个年轻人正以惊人的速度生活。我们所说的“率”是什么意思？在这两种情况下，我们都在心里比较正在发生的事情以及它发生所需的时间长度。如果汽车以每秒 $40$ 码的速度从我们身边飞过，一个简单的心理算术就会告诉我们，这相当于——在持续期间——每分钟 $2400$ 码的速度，或者大约每小时 $82$ 英里。¹

那么，在什么意义上，每秒 $40$ 码的速度与每分钟 $2400$ 码的速度相同？四十码不等于 $2400$ 码，一秒也不等于一分钟。我们说“率”相同，意思是：在两种情况下，所经过的距离与经过该距离所花费的时间之间的比例是相同的。

再举一个例子。一个人身上可能只有几英镑，却能够以每年数百万英镑的速率花钱——前提是他只以那个速率持续花费几分钟。假设你递一先令到柜台上支付一些商品；并假设这个操作恰好持续一秒钟。那么，在那短暂的操作期间，你正以每秒 $1$ 先令²的速率放弃你的钱，这与每分钟£ $3$ 、每小时£ $180$ 、每天£ $4320$ 、或每年£ $1, 576, 800$ 的速率相同！如果你口袋里有£ $10$ ，你可以以每年一百万的速率持续花钱，仅仅 $5 \frac{1}{4}$ 分钟。

现在尝试将这些想法中的一些用微分符号表示出来。

在这种情况下，让 $y$ 代表钱，让 $t$ 代表时间。

如果你在花钱，并且你在短时间内 $d t$ 花费的金额称为 $d y$ ，那么花钱的率将是 $\frac{d y}{d t}$ ，或者更确切地说，应该用负号写成 $- \frac{d y}{d t}$ ，因为 $d y$ 是一个减量，而不是增量。但钱不是微积分的好例子，因为它通常以跳跃的方式进出，而不是连续流动——你可能每年赚£ $200$ ，但它并不会整天以细流的形式持续流入；它只是每周、每月或每季度以整笔的形式进来；你的支出也是以突然的付款方式出去。

一个更贴切的说明“率”这个概念的例证是由运动物体的速度提供的。从伦敦（尤斯顿车站）到利物浦是 $200$ 英里。如果一列火车在 $7$ 点离开伦敦，并在 $11$ 点到达利物浦，你知道，由于它在 $4$ 小时内行驶了 $200$ 英里，它的平均速率一定是每小时 $50$ 英里；因为 $\frac{200}{4} = \frac{50}{1}$ 。在这里，你实际上是在心里比较所经过的距离和经过它所花费的时间。你是在用一个除以另一个。如果 $y$ 是总距离， $t$ 是总时间，那么平均速率显然是 $\frac{y}{t}$ 。现在，速度实际上并非全程恒定：在启动时，以及在旅程结束时减速期间，速度较慢。可能在某个部分，比如下坡时，速度超过了每小时 $60$ 英里。如果在任何特定的时间元素 $d t$ 内，经过的相应距离元素是 $d y$ ，那么在旅程的那一部分，速度就是 $\frac{d y}{d t}$ 。因此，一个量（在当前例子中是距离）相对于另一个量（在这种情况下是时间）变化的率，可以通过陈述一个量相对于另一个量的导数来恰当地表达。一个速度，科学地表达，是在任何给定方向上经过一个非常小的距离的速率；因此可以写成 $v = \frac{d y}{d t} .$

但如果速度 $v$ 不是均匀的，那么它要么在增加，要么在减少。速度增加的速率称为加速度。如果一个运动物体在任何特定瞬间，在一个时间元素 $d t$ 内获得一个额外的速度 $d v$ ，那么该瞬间的加速度 $a$ 可以写成 $a = \frac{d v}{d t};$ 但是 $d v$ 本身是 $d (\frac{d y}{d t})$ 。因此我们可以写成 $a = \frac{d (\frac{d y}{d t})}{d t};$ 这通常写成 $a = \frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ ；或者说加速度是距离对时间的二阶导数。加速度表示为在单位时间内速度的变化，例如，每秒每秒多少英尺；使用的符号是 $英尺 / 秒^{2}$ 。

当一列火车刚开始移动时，它的速度 $v$ 很小；但它正在迅速获得速度——它正被发动机的努力推动加速。所以它的 $\frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ 很大。当它达到最高速度时，它不再被加速，因此 $\frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ 降为零。但是当它接近停车点时，它的速度开始减慢；如果刹车被踩下，速度可能会非常快地减慢，并且在这个减速或速度减缓期间， $\frac{d v}{d t}$ 的值，即 $\frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ 将是负的。

要加速一个质量 $m$ ，需要持续施加力。加速一个质量所需的力与质量成正比，并且也与所施加的加速度成正比。因此，对于力 $f$ ，我们可以写出表达式 $f = m a;$ 或 $f = m \frac{d v}{d t};$ 或 $f = m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} .$

质量与其运动速度的乘积称为它的动量，用符号表示为 $m v$ 。如果我们对动量关于时间求导，我们将得到 $\frac{d (m v)}{d t}$ 作为动量的变化率。但是，由于 $m$ 是一个常数，这可以写成 $m \frac{d v}{d t}$ ，我们在上面看到这与 $f$ 相同。也就是说，力既可以表示为质量乘以加速度，也可以表示为动量的变化率。

再者，如果使用一个力来移动某物（抵抗一个相等且相反的反作用力），它就做了功；所做的功的量由力与其作用点向前移动的距离（在其自身方向上）的乘积来衡量。所以如果一个力 $f$ 向前移动了一段长度 $y$ ，所做的功（我们可以称之为 $w$ ）将是 $w = f \times y;$ 这里我们取 $f$ 为恒力。如果力在范围 $y$ 的不同部分变化，那么我们必须找到它逐点的值的表达式。如果 $f$ 是沿着长度微元 $d y$ 的力，那么所做的功将是 $f \times d y$ 。但由于 $d y$ 只是一个长度元素，所以只会做微小的功。如果我们用 $w$ 表示功，那么一个功的微元将是 $d w$ ；并且我们有 $d w = f \times d y;$ 这可以写成 $d w = m a \cdot d y;$ 或 $d w = m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \cdot d y;$ 或 $d w = m \frac{d v}{d t} \cdot d y .$ 此外，我们可以变换表达式并写成 $\frac{d w}{d y} = f .$

这给了我们力的第三个定义；如果它被用来在任何方向产生位移，那么力（在那个方向）等于在该方向上每单位长度做功的速率。在最后这句话中，“率”这个词显然不是在其时间意义上使用，而是作为比率或比例的意义。

艾萨克·牛顿爵士（与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨一起）是微积分方法的发明者之一，他将所有变化的量视为流动的；而我们今天称为导数的比率，他视为所讨论量的流动速率，或流数。他没有使用 $d y$ 、 $d x$ 和 $d t$ 的符号（这归功于莱布尼茨），而是有自己的符号。如果 $y$ 是一个变化或“流动”的量，那么他用来表示其变化率（或“流数”）的符号是 $\dot{y}$ 。如果 $x$ 是变量，那么它的流数用 $\dot{x}$ 表示。字母上方的点表示它已被微分。在物理学中，这种符号仍在使用，但专门用于时间是自变量的情况。在这种情况下， $\dot{y}$ 将表示 $\frac{d y}{d t}$ ，而 $\dot{u}$ 将表示 $\frac{d u}{d t}$ ；并且 $\ddot{x}$ 将表示 $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ 。

采用这种流数符号，我们可以将上面段落中考虑的力学方程写成如下形式：

距离	$x$ ,
速度	$v = \dot{x}$ ,
加速度	$a = \dot{v} = \ddot{x}$ ,
力	$f = m \dot{v} = m \ddot{x}$ ,
功	$w = x \times m \ddot{x}$ .

示例

示例 8.1。一个物体运动，使得它从某一点 $O$ （见下图）行进的距离 $x$ （以英尺为单位）由关系式 $x = 0.2 t^{2} + 10.4$ 给出，其中 $t$ 是从某个时刻开始经过的时间（以秒为单位）。(a) 求物体开始运动后 $5$ 秒时的速度和加速度。(b) 当行进距离为 $100$ 英尺时，求相应的值。(c) 同时求其运动前 $10$ 秒内的平均速度。（假设向右的距离和运动为正。）

解。现在 $\begin{matrix} x = 0.2 t^{2} + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{d x}{d t} = 0.4 t; 且 a = \ddot{x} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = 0.4 = 常数。 \end{matrix}$

$x$ 、 $v$ 和 $a$ 相对于 $t$ 的图形如下所示。

当 $t = 0$ 时， $x = 10.4$ 且 $v = 0$ 。物体从点 $O$ 右侧 $10.4$ 英尺处的一点开始运动；时间从物体开始运动的瞬间开始计算。

(a) 当 $t = 5$ 时， $v = 0.4 \times 5 = 2 英尺/秒$ ； $a = 0.4 {英尺/秒}^{2}$ 。

(b) 当 $x = 100$ 时， $100 = 0.2 t^{2} + 10.4$ ，或 $t^{2} = 448$ ，且 $t = 21.17 秒$ ； $v = 0.4 \times 21.17 = 8.468 英尺/秒$

(c) 当 $t = 10$ 时， $\begin{matrix} 行进距离 = 0.2 \times 10^{2} + 10.4 - 10.4 = 20 英尺。 \\ 平均速度 = \frac{20}{10} = 2 英尺/秒。 \end{matrix}$

（这与区间中点 $t = 5$ 时的速度相同；因为加速度恒定，速度从 $t = 0$ 时的零均匀变化到 $t = 10$ 秒时的 $4 英尺/秒$ 。）

示例 8.2。如果 $x = 0.2 t^{2} + 3 t + 10.4,$ 求解上述问题。

解。如果 $x = 0.2 t^{2} + 3 t + 10.4$ ，那么 $\begin{matrix} v = \dot{x} = \frac{d x}{d t} = 0.4 t + 3; a = \ddot{x} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = 0.4 = 常数。 \end{matrix}$ $x$ 、 $v$ 和 $a$ 相对于 $t$ 的图形如下所示。

当 $t = 0$ 时， $x = 10.4$ 且 $v = 3$ 英尺/秒（英尺每秒），时间从物体经过距离点 $O$ 为 $10.4$ 英尺的点的瞬间开始计算，此时其速度已经是 $3$ 英尺/秒。

(a) 为了找到自开始运动以来经过的时间，令 $v = 0$ ；那么 $0.4 t + 3 = 0$ ， $t = - \frac{3}{0.4} = - 7.5$ 秒。物体在开始观测时间之前 $7.5$ 秒开始运动；此后 $5$ 秒给出 $t = - 2.5$ 且 $v = 0.4 \times - 2.5 + 3 = 2$ 英尺/秒。

(b) 当 $x = 100$ 英尺时， $100 = 0.2 t^{2} + 3 t + 10.4; 或 t^{2} + 15 t - 448 = 0;$ 因此 $t = 14.95$ 秒， $v = 0.4 \times 14.95 + 3 = 8.98$ 英尺/秒。

(c) 要计算运动前 $10$ 秒内经过的距离，必须知道物体在起始时距离点 $O$ 有多远。

当 $t = - 7.5$ 时， $x = 0.2 \times (- 7.5)^{2} - 3 \times 7.5 + 10.4 = - 0.85 ft,$ 即位于点 $O$ 左侧 $0.85$ 英尺处。

现在，当 $t = 2.5$ 时， $x = 0.2 \times {2.5}^{2} + 3 \times 2.5 + 10.4 = 19.15 .$

因此，在 $10$ 秒内，经过的距离为 $19.15 + 0.85 = 20$ 英尺，且 $平均速度 = \frac{20}{10} = 2 ft/s .$

例 8.3. 考虑一个与前一问题类似的问题，但现在假设距离由 $x = 0.2 t^{2} - 3 t + 10.4$ 给出。

(a) 求物体开始运动后 $5$ 秒时的速度和加速度。(b) 求当经过距离为 $100$ 英尺时的相应值。(c) 同时求运动前 $10$ 秒内的平均速度。

解. 如果 $x = 0.2 t^{2} - 3 t + 10.4$ 那么 $v = 0.4 t - 3, a = 0.4 = 常数 .$

$x$ 和 $v$ 关于 $t$ 的图形如下所示。

(a) 当 $t = 0$ 时， $x = 10.4$ 如前所述，且 $v = - 3$ ；因此物体运动方向与之前情况相反（见下图）。然而，由于加速度为正，我们看到这个速度会随时间数值上减小³，直到变为零，即当 $v = 0$ 或 $0.4 t - 3 = 0$ ；或 $t = 7.5$ 秒。此后，速度变为正；物体启动后 $5$ 秒，即 $t = 12.5$ 时， $v = 0.4 \times 12.5 - 3 = 2 ft/s .$

(b) 当 $x = 100$ 时， $或$ 且

(c) 当 $v$ 为零时， $x = 0.2 \times {7.5}^{2} - 3 \times 7.5 + 10.4 = - 0.85$ ，告诉我们物体在停止前向后移动至点 $O$ 之外 $0.85$ 英尺处。十秒后 $t = 17.5 且 x = 0.2 \times {17.5}^{2} - 3 \times 17.5 + 10.4 = 19.15 .$ $经过的距离 = 0.85 + 19.15 = 20.0$ ，平均速度再次为 $2$ 英尺/秒。

例 8.4. 再考虑一个同类问题，其中 $x = 0.2 t^{3} - 3 t^{2} + 10.4$ ； $v = 0.6 t^{2} - 6 t$ ； $a = 1.2 t - 6$ 。加速度不再是常数。

$x$ 、 $v$ 和 $a$ 关于 $t$ 的图形如下所示。

当 $t = 0$ 时， $x = 10.4$ ， $v = 0$ ， $a = - 6$ 。物体静止，但即将以负加速度运动，即获得朝向点 $O$ 的速度（见下图）。

例 8.5. 如果 $x = 0.2 t^{3} - 3 t + 10.4$ ，那么 $v = 0.6 t^{2} - 3$ ，且 $a = 1.2 t$ 。

当 $t = 0$ 时， $x = 10.4$ ； $v = - 3$ ； $a = 0$ 。

物体以 $3$ 英尺/秒的速度朝向点 $O$ 运动，⁴ 且就在那一瞬间速度是均匀的（即其变化率为零）。

$x$ 、 $v$ 和 $a$ 关于 $t$ 的图形如下所示。

我们看到，运动的状况总能立即从时间-距离方程及其一阶和二阶导函数中确定。在最后两种情况下，前 $10$ 秒内的平均速度和启动后 $5$ 秒时的速度不再相同，因为速度不再均匀增加，加速度不再是常数。

例 8.6. 一个轮子转过的角度 $θ$ （以弧度计）由 $θ = 3 + 2 t - 0.1 t^{3}$ 给出，其中 $t$ 是从某一时刻起以秒为单位的时间；求角速度 $ω$ 和角加速度⁵ $α$ ，(a) 在 $1$ 秒后；(b) 在它完成一周旋转后。(c) 它在何时静止，到那一时刻为止它完成了多少周旋转？

解. 对于加速度，写作 $ω = \dot{θ} = \frac{d θ}{d t} = 2 - 0.3 t^{2}, α = \ddot{θ} = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - 0.6 t .$

当 $t = 0$ 时， $θ = 3$ ； $ω = 2$ 弧度/秒； $α = 0$ 。

(a) 当 $t = 1$ 时， $ω = 2 - 0.3 = 1.7 rad/s; α = - 0.6 {rad/s}^{2} .$

这是一个减速；轮子正在慢下来。

(b) 经过 $1$ 周旋转后 $θ = 2 π \approx 6.28; 6.28 = 3 + 2 t - 0.1 t^{3} .$

通过绘制图形 $θ = 3 + 2 t - 0.1 t^{3}$ （见下图），我们可以得到 $θ = 6.28$ 时 $t$ 的一个或多个值；这些值是 $2.11$ 和 $3.03$ （还有一个负值）。

当 $t = 2.11$ 时， $\begin{matrix} θ = 6.28; ω = 2 - 1.34 = 0.66 rad/s; \\ α = - 1.27 {rad/s}^{2} . \end{matrix}$ 当 $t = 3.03$ 时， $\begin{matrix} θ = 6.28; ω = 2 - 2.754 = - 0.754 rad/s; \\ α = - 1.82 {rad/s}^{2} . \end{matrix}$

(c) 速度反向。轮子显然在这两个时刻之间静止；当 $ω = 0$ 时它静止，即当 $0 = 2 - 0.3 t^{3}$ ，或当 $t = 2.58 s$ 时，它完成了 $\frac{θ}{2 π} = \frac{3 + 2 \times 2.58 - 0.1 \times {2.58}^{3}}{6.28} = 1.025 周旋转 .$

绘制 $θ = 3 + 2 t - 0.1 t^{3}$ 的图形，我们观察到在 $t = 2.58$ 秒处，角速度 $ω = \frac{d θ}{d t}$ 为零，曲线有一个顶点，且此时 $θ$ 的值局部达到最大值（见下图）。

练习

练习 8.1. 如果 $y = a + b t^{2} + c t^{4}$ ；求 $\frac{d y}{d t}$ 和 $\frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ 。

答案

$\frac{d y}{d t} = 2 b t + 4 c t^{3}$ ； $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = 2 b + 12 c t^{2}$ 。

解答

练习 8.2. 一个自由落体在 $t$ 秒内经过的距离 $s$ （以英尺计）由方程 $s = 16 t^{2}$ 表示。绘制一条曲线显示 $s$ 和 $t$ 之间的关系。并确定物体在从释放开始以下时刻的速度： $t = 2$ 秒； $t = 4.6$ 秒； $t = 0.01$ 秒。

答案

64；147.2；和 0.32 英尺每秒。

解答

$s = 16 t^{2} \Rightarrow v = 32 t$

当 $t = 2, v = 64 ft / s$

当 $t = 4.6, v = 147.2 ft / s$

当 $t = 0.01, v = 0.32 ft / s$

练习 8.3. 如果 $x = a t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ；求 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 。

答案

$\dot{x} = a - g t$ ； $\ddot{x} = - g$ 。

解答

练习 8.4. 如果一个物体按照定律 $s = 12 - 4.5 t + 6.2 t^{2}$ 运动，求当 $t = 4$ 秒时的速度； $s$ 以英尺计。

答案

$45.1$ 英尺每秒。

解答

当 $t = 4, v = 45.1 ft / s$

练习 8.5. 求前一个例子中提到的物体的加速度。对于所有 $t$ 值，加速度是否相同？

答案

$12.4$ 英尺每二次方秒。是的。

解答

$v = - 4.5 + 12.4 t$

$a = \frac{d v}{d t} = 12.4 ft / s^{2}$ 是的，对于所有 $t$ 值，加速度相同。

练习 8.6. 一个旋转轮子转过的角度 $θ$ （以弧度计）与从开始起经过的时间 $t$ （以秒计）的关系由定律 $θ = 2.1 - 3.2 t + 4.8 t^{2}$ 给出。求当 $1 \frac{1}{2}$ 秒过去后该轮子的角速度（以弧度每秒计）。同时求其角加速度。

答案

角速度 $= 11.2$ 弧度每秒；角加速度 $= 9.6$ 弧度每二次方秒。

解答

$θ = 2.1 - 3.2 t + 4.8 t^{2}$

当 $t = 1 \frac{1}{2} = 1.5$ 秒时， $ω = 11.2 rad / s$

对于所有 $t$ 值， $α = 9.6 rad / s^{2}$

练习 8.7. 一个滑块运动，在其运动的第一部分，从起点开始的距离 $s$ （以英寸计）由表达式 $s = 6.8 t^{3} - 10.8 t; t 以秒计$ 给出。求任意时刻的速度和加速度表达式；并由此求 $3$ 秒后的速度和加速度。

答案

$v = 20.4 t^{2} - 10.8$ 。 $a = 40.8 t$ 。 $172.8$ 英寸/秒， $122.4 {in/s}^{2}$ 。

解答

当 $t = 3$ 秒时， $v = 172.8 in / s$ 。

当 $t = 3$ 秒时， $a = 122.4 in / s^{2}$ 。

练习 8.8. 一个上升气球的高度 $h$ （以英里计）在任何时刻由表达式 $h = 0.5 + \frac{1}{10} \sqrt[3]{t - 125}$ 给出； $t$ 以秒计。

求任意时刻的速度和加速度表达式。绘制曲线以显示上升前十分钟内高度、速度和加速度的变化。

答案

$v = \frac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^{2}}}$ ， $a = - \frac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^{5}}}$ 。

解答

$h = 0.5 + \frac{1}{10} (t - 125)^{\frac{1}{3}}$

如果我们对时间进行平移（定义一个新的时间原点）， $τ = t - 125$ ，那么 $h = 0.5 + \frac{1}{10} τ^{\frac{1}{3}}$ 。然而，由于这只是简单的平移，我们预期 $h$ 关于 $t$ 和 $τ$ 的变化率是相同的。 $\frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d τ} .$

$\begin{matrix} v = \frac{d h}{d τ} = \frac{1}{30} τ^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{30} (t - 125)^{- \frac{2}{3}} \\ a = \frac{d^{2} h}{d t^{2}} = \frac{d^{2} h}{d τ^{2}} = - \frac{1}{45} τ^{- \frac{5}{2}} = - \frac{1}{45} (t - 125)^{- \frac{5}{2}} \end{matrix}$

速度（ $v$ ）和加速度（ $a$ ）作为时间函数的图像如下所示。速度和加速度的公式以及附带的图像表明，在 $t = 125$ 秒时，速度和加速度都变为无穷大或“爆炸”。这表明在这种情况下，不可能存在一个关于高度（ $h$ ）的公式。

练习 8.9。一块石头被向下扔入水中，它在到达水面后任意时刻 $t$ 秒的深度 $p$ （以米为单位）由表达式 $p = \frac{4}{4 + t^{2}} + 0.8 t - 1$ 给出。

求任意时刻的速度和加速度表达式。求 $10$ 秒后的速度和加速度。

答案

$v = 0.8 - \frac{8 t}{(4 + t^{2})^{2}}$ ， $a = \frac{24 t^{2} - 32}{(4 + t^{2})^{3}}$ ， $0.7926$ 和 $0.00211$ 。

解答

$p = \frac{4}{4 + t^{2}} + 0.8 t - 1$

当 $t = 10$ 秒时， $v = - \frac{8 \times 10}{(4 + 100)^{2}} + 0.8 \approx 0.7926 \frac{m}{s}$

当 $t = 10$ 时， $a = \frac{8 (3 \times 10^{4} + 8 \times 100 - 16)}{(4 + 100)^{4}} \approx 0.00211 \frac{m}{s^{2}} .$

练习 8.10。一个物体以这样的方式运动：从起点开始，在时间 $t$ 内经过的路程由 $s = t^{n}$ 给出，其中 $n$ 是常数。求当速度从第 $5$ 秒到第 $10$ 秒加倍时 $n$ 的值；也求当第 $10$ 秒末速度数值上等于加速度时 $n$ 的值。

答案

$n = 2$ ， $n = 11$ 。

解答

$s = t^{n} \Rightarrow v = \frac{d s}{d t} = n t^{n - 1} \Rightarrow a = \frac{d v}{d t} = n (n - 1) t^{n - 2}$

在 $t = 5$ 时， $v = n {.5}^{n - 1}$ ，

在 $t = 10$ 时， $v = n \times 10^{n - 1}$

速度从第 $5$ 秒到第 $10$ 秒加倍。因此，我们有

第 $10$ 秒末速度数值上等于加速度。因此 $n \times 10^{n - 1} = n (n - 1) 10^{n - 2}$ $\Rightarrow n - 1 = 10$ 或 $n = 11.$

1 英里等于 1,760 码。↩︎

20 先令 $=$ 1 英镑。目前 1 英镑大约等于 1.21 美元。↩︎

换句话说，在前 7.5 秒内，速度的绝对值（称为速率）减小，但速度本身在代数上随时间增加，因为它从 $- 3$ 变为 $0$ 。一般来说，当物体的加速度为正时，其速度在代数上增加；当加速度为负时，其速度在代数上减小。↩︎

速度的绝对值称为速率；即速率 $= | \frac{d x}{d t} |$ 。因此，更精确的说法是，物体以 $3$ 英尺/秒的速率向点 $O$ 移动。↩︎

角速度为 $ω = \frac{d θ}{d t}$ ，角加速度为 $α = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}$ 。↩︎