泰勒公式

现在假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的某个区间内有 $n$ 阶导数。再假设我们已经找到了一个次数为 $(n-1)$ 的多项式 $P(x)$，使得

那么 $f(x)-P(x)$ 在 $x_0$ 处有一个重数至少为 $n$ 的零点。根据逼近定理，如果我们令 $H(x)=(x-x_0{)}^n$，则有

即

其中 $\xi$ 位于 $x$ 与 $x_0$ 之间。

剩下的问题是确定 $P(x)$。为此，我们将其写为

即 $(x-x_0)$ 的幂的组合，其中系数 $a_i$ 尚待确定。现在我们希望有 $P(x_0)=f(x_0)$。但 $P(x_0)=a_0$。因此 $a_0=f(x_0)$。 ，因为常数项的导数为 $0$，并且除 $a_1(x-x_0)$（其导数为 $a_1$）之外，其余所有项的导数中都保留一个因子 $(x-x_0)$。因此 。同理， ，一般地有 $P^{(i)}(x_0)=i!a_1=f^{(i)}(x_0)$，即

因此

综上所述，我们有

其中 $\xi$ 位于 $x$ 与 $x_0$ 之间。这个结果被称为泰勒公式。

我们可以用另一种方法推导这个公式，这种方法能提供一些值得关注的新信息。在这种情况下，我们再次假设 $f(x)$ 在包含 $a$ 和 的区间内有 $n$ 阶导数。然后我们令

那么

因为前面的项都成对相消了。现在令

其中 $1\le p\le n$，且 $C$ 的选取使得 $g(a)=0$。由于 $F(b)=f(b)$，我们还有 $g(b)=0$。根据罗尔定理，存在一个 $\xi$，，使得

因此

并且

特别地，$g(a)=0$，所以

即

其中 $\xi$ 是 $a$ 与 $b$ 之间的某个数。如果我们把 $a$ 换成 $x_0$，把 $b$ 换成 $x$，就会看到当 $p=n$ 时，我们这里的余项与之前完全相同。这一项被称为拉格朗日余项。当 $p=1$ 时，余项被称为柯西余项。在某些情况下使用前者比较方便，在另一些情况下使用后者比较方便。

一般地，表达式

被称为$𝒇\mathbf{(}𝒙\mathbf{)}$ 关于 ${𝒙}_{\mathbf{0}}$ 的泰勒级数。当 $n$ 项之后的余项（即级数前 $n$ 项与 $f(x)$ 之差）随着 $n$ 变大而趋于 $0$ 时，我们说该级数收敛于 $f(x)$。作为例子，我们将展示 $\arctan x$ 关于 $x_0=0$ 的一个级数，它在 $-1\le x\le 1$ 时收敛于 $\arctan x$。这实际上就是它关于 $0$ 的泰勒级数。我们将利用这个级数来演示一种计算 $\pi$ 的小数展开的非常有效的方法。

考虑级数

令

那么

这里使用了等比级数求和法则。这正好是

当$n$ 为偶数时， 。此时 $f_n(x)$ 单调递增。由于 $f_n(0)=0$，所以当 $x\geqq 0$ 时 $f_n(x)\geqq 0$。于是，注意到当$n$ 为偶数时我们的多项式有偶数项，我们看到当 $n$ 为偶数且 $x\geqq 0$ 时，

当$n$ 为奇数时， ，且当 $x\geqq 0$ 时 $f_n(x)\leqq 0$，所以

由于 $\arctan x$ 位于任意两个相邻多项式之间，所以 $k$ 项多项式与 $\arctan x$ 之差至多等于该多项式与下一个 $(k+1)$ 项多项式之差，即

因为 $0\leqq x\leqq 1$。因此，对于该范围内的 $x$，级数收敛于$\arctan x$。对于 $x\leqq 0$，我们注意到 $f_n(-x)=-f_n(x)$；由于 $f_n(-x)$ 趋于零，所以 $f_n(x)$ 也趋于零。

当 $x=1$ 时，这给出

这样我们就有了计算 $\pi$ 的小数展开的方法，尽管它并不十分经济高效。不过，有一个与之密切相关且非常有效的方法。设 $a=\arctan \frac{1}{5}$。那么

再一次，

设 $b=\arctan \frac{1}{239}$。那么

因此 $4a-b=\frac{\pi }{4}$，$\pi =16a-4b$。现在

且

利用这个方法，人们已经计算出了 $\pi$ 的数百位小数。

习题