数列与极限

数的序列其实是一个函数，它给每个正整数指定一个数。我们习惯用 ${a_{n}}$ 来表示它，其中对每个整数 $n > 0$ 有 $a_{n} = f (n)$ 。例如：
a) $1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, \dots;$
当 $n$ 为奇数时 $a_{n} = 1$ ，当 $n$ 为偶数时 $a_{n} = - 1$ 。
b) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots;$
$a_{n} = \frac{1}{n} \cdot$
c) $1, 1 + 1, 1 + 1 + \frac{1}{2!}, \dots;$
$a_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{(n - 1)!} \cdot$

如果对于每个给定的正数 $ϵ$ （通常被认为很小），我们都能找到一个整数 $N$ ，使得每当 $n > N$ 时都有 $a - ϵ < a_{n} < a + ϵ$ ，或者等价地， $| a - a_{n} | < ϵ$ ，那么我们就说序列 ${a_{n}}$ 有极限 $a$ 。也就是说，只有当每一个想就此向我挑战的对手都能被应对时，我才能断言极限是 $a$ ；我必须准备好针对他可能用来对付我的任何 $ϵ$ ，给出一个求出具有所需性质的 $N$ 的程序。如果 ${a_{n}}$ 有极限 $a$ ，我们写成

lim_{n \to \infty} a_{n} = a, 或简写成 lim a_{n} = a \cdot

前者读作：“当 $n$ 趋于无穷时 $a_{n}$ 的极限是 $a$ ”。注意，我们并没有在任何地方定义一个叫做“无穷”的对象，而是选择了这一整个惯用语来指代上面已给出精确定义的那种行为。

序列 a) 没有极限（试着应对 $ϵ = \frac{1}{2}$ 的挑战）。序列 b) 的极限是 $0$ ，序列 c) 的极限是 $e$ ，正如我们在第 17 节中看到的那样。然而，假设我们给定了一个序列 ${a_{n}}$ ，但看不出它的极限是什么。我们能不先猜测极限就判断它是否有极限吗？答案是肯定的，可以通过若干种不同的方法。其中最有力的是柯西收敛准则，其证明将作为本节的附录给出。有一种稍简单的方法，可用于序列是递增的情形： $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \cdot$

定理 1

设 ${a_{n}}$ 递增，且 ${a_{n}}$ 有上界。则对某个数 $a$ 有 $lim a_{n} = a$ 。

设 $a$ 是 ${a_{n}}$ 的最小上界。设 $ϵ > 0$ 。我们必须证明存在一个 $N$ ，使得每当 $n > N$ 时， $a - ϵ < a_{n} < a + ϵ$ 。但对**所有** $n$ 都有 $a_{n} < a + ϵ$ ，因为对所有 $n$ 都有 $a_{n} \leq a$ （ $a$ 是一个上界）。现在 $a - ϵ$ **不是**上界，所以存在一个 $N$ 使得 $a_{N} > a - ϵ$ 。如果 $n > N$ ，那么 $a_{n} \geq a_{N} > a - ϵ$ 。于是对 $n > N$ ，我们有 $a - ϵ < a_{n} < a + ϵ$ ，这正是要证明的。（注意， $N$ 一般依赖于 $ϵ$ 。）

如果我们不知道序列 c) 的极限是 $e$ ，我们可以用这个定理证明它有极限。因为该序列显然递增，而且

对所有

所以我们有一个有界的递增序列。利用取负数的方法，这一定理还可用来证明：如果一个递减序列有下界，则它有极限。（还要注意，两个数 $a$ 和 $b$ 不可能都是 ${a_{n}}$ 的极限；因为那样的话，对任何一点我们都无法应对 $ϵ = \frac{1}{2} | b - a |$ 的挑战。）

作为一个极限无法猜出的序列的例子，令 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - \log n$ 。那么

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n + 1} - \log (n + 1) + \log n = \frac{1}{n + 1} - \log (1 + \frac{1}{n}) \cdot

但如果我们回忆起第 11 节中的不等式

\log (1 + \frac{1}{n}) \geq \frac{1}{n + 1}, 我们看到 a_{n} \geq a_{n + 1},

即该序列是递减的。现在我们来证明它以 $0$ 为一个下界。为此，回忆同一不等式在 $\log x$ 上的另一边：

\frac{1}{n} \geq \log (1 + \frac{1}{n}) = \log (n + 1) - \log n \cdot

于是

对所有

因此

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - \log n) = C

存在，并且实际上是非负的。它的小数点后前几位是 $.5772 \dots$ 。它被称为欧拉常数，而且人们甚至不知道它是否是有理数。

接下来我们证明序列极限的一些性质，包括极限的线性性。其余一些性质留作习题。一般地，设 ${a_{n}}$ 是极限为 $a$ 的序列， ${b_{n}}$ 是极限为 $b$ 的序列， $c$ 是一个常数。

定理 2

lim (a_{n} + b_{n}) = a + b \cdot

给定 $ϵ > 0$ 。那么我们可以找到 $N_{1}$ 使得对所有 $n > N_{1}$ 有 $- ϵ < a_{n} - a < ϵ$ ，并找到 $N_{2}$ 使得对所有 $n > N_{2}$ 有 $- ϵ < b_{n} - b < ϵ$ 。令 $N$ 为 ** $N_{1}$ 和 $N_{2}$ 中较大者**，记作 $N = Max (N_{1}, N_{2})$ 。那么对所有 $n > N$ ， $(a_{n} + b_{n}) - (a + b)$ 具有如下性质：

- 2 ϵ < (a_{n} + b_{n}) - (a + b) < 2 ϵ \cdot

因子 $2$ 无关紧要，因为我们本可以从 $\frac{ϵ}{2}$ 而不是 $ϵ$ 出发，从而对某个合适的，对所有得到 $- ϵ < (a_{n} + b_{n}) - (a + b) < ϵ$ 。因此定理得证。

定理 3

lim (c a_{n}) = c a \cdot

如果 $c = 0$ ，那么所有 $c a_{n} = c a = 0$ ，于是对任意给定的 $ϵ > 0$ ，我们可以取 $N = 1$ 。那么对所有 $n > N$ ， $- ϵ < c a_{n} - c a = 0 < ϵ$ 。现在设 $c \neq 0$ ，并给定 $ϵ > 0$ 。设 $N_{1}$ 使得对所有 $n > N_{1}$ 有 $- ϵ < a_{n} - a < ϵ$ ，换句话说，对 $n > N_{1}$ 有 $| a_{n} - a | < ϵ$ 。那么

| c a_{n} - c a | = | c | | a_{n} - a | < | c | ϵ 对 n > N_{1} \cdot

我们只需从 $\frac{ϵ}{| c |}$ 而不是 $ϵ$ 出发，就能得到如下形式的结果

| c a_{n} - c a | < ϵ 对 n > N \cdot

定理 4

lim (a_{n} b_{n}) = a b \cdot

部分证明。

现在考虑 ${a_{n}}$ ，取 $ϵ = 1$ 。存在一个 $N_{1}$ 使得对 $n > N_{1}$ 有 $| a_{n} - a | < 1$ 。现在我们断言 $| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a |$ 。因为

| a_{n} | = | (a_{n} - a) + a | \leq | a_{n} - a | + | a |,

即

| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a | \cdot

于是我们有 $| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a | < 1$ ，即对所有 $n > N_{1}$ 有 $| a_{n} | < 1 + | a |$ 。因此如果 $n > N_{1}$ ，

| a_{n} b_{n} - a b | \leq (| a | + 1) | b_{n} - b | + | a_{n} - a | | b | \cdot

证明的其余部分留作习题。

习题 1.

设 $lim a_{n} = a, a \neq 0$ 。
证明存在一个正数 $r$ 和一个整数 $N_{1}$ ，使得对所有 $n > N_{1}$ 有 $| a_{n} | > r$ 。

现在证明 $lim (\frac{1}{a_{n}}) = \frac{1}{a}$ ，其含义是：对任意给定的 $ϵ > 0$ ，存在一个 $N$ ，使得对所有 $n > N$ 有 $a_{n} \neq 0$ 且 $| \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a} | < ϵ$ 。

接下来设 $f (x)$ 是定义在一个包含点 $x_{0}$ 的区间上的函数，可能的例外是 $f (x_{0})$ 可以没有定义。如果对每个给定的 $ϵ > 0$ ，我们都能找到一个 $δ > 0$ ，使得对区间内每个满足 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 的 $x$ 都有 $| f (x) - a | < ϵ$ ，我们就说 $a$ 是 $f (x)$ 当 $x$ 趋于 $x_{0}$ 时的极限，记作

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a,

习题 2.

设

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a, lim_{x \to x_{0}} g (x) = b,

$c$ 是一个常数。证明：

$lim_{x \to x_{0}} (f (x) + g (x)) = a + b$ 。
$lim_{x \to x_{0}} (c f (x)) = c a$ 。
$lim_{x \to x_{0}} (f (x) g (x)) = a b$ 。
如果 $a \neq 0$ ，则 $lim_{x \to x_{0}} (\frac{1}{f (x)}) = \frac{1}{a} \cdot$
$lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ 与 $lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = a$ 含义相同。

附录：柯西准则

作为变化，我们针对函数的极限来证明这个定理，而将其对序列的证明留作习题。

定理 5

设 $f (x)$ 定义在一个包含 $x_{0}$ 的区间上，但不一定在 $x_{0}$ 处有定义。那么

lim_{x \to x_{0}} f (x)

存在当且仅当 $f (x)$ 满足以下条件：对每个 $ϵ > 0$ ，存在一个 $δ > 0$ ，使得如果 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是任意满足 $0 < | x_{1} - x_{0} | < δ, 0 < | x_{2} - x_{0} | < δ$ 的数，则 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ϵ \cdot$

首先假设极限存在，设为

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a \cdot

给定 $ϵ > 0$ 。那么存在一个 $δ > 0$ ，使得如果 $0 < | x - x_{0} | < δ$ ，就有 $| f (x) - a | < \frac{ϵ}{2} \cdot$ 设 $0 < | x_{1} - x_{0} | < δ, 0 < | x_{2} - x_{0} | < δ$ 。那么

于是定理在一个方向上得证：如果极限存在，则该条件被满足。

现在假设该条件被满足。首先取 $ϵ = 1$ ；然后设 $0 < | x_{1} - x_{0} | < δ_{0}$ ，其中 $δ_{0}$ 是对 $ϵ = 1$ 满足条件的数。现在如果 $x$ 是任意满足 $0 < | x - x_{0} | < δ_{0}$ 的数，就有 $| f (x) - f (x_{1}) | < 1$ ，即 $| f (x) | < | f (x_{1}) | + 1$ ，也就是说，对 $0 < | x - x_{0} | < δ_{0}$ ， $f (x)$ 是有界的，既有上界又有下界。

接下来令 $δ_{1} = Min (1, δ_{0}), δ_{2} = Min (\frac{1}{2}, δ_{0}), \dots, δ_{n} = Min (\frac{1}{n}, δ_{0})$ 。（从某个 $n$ 开始，所有的 $δ_{n} = \frac{1}{n}$ ，因为最终会有 $\frac{1}{n} < δ_{0} \cdot$ ）在每个区间 $I_{n} : 0 < | x - x_{0} | < δ_{n}$ 上， $f (x)$ 都是有界的，既有上界又有下界。设 $a_{n}$ 是 $f (x)$ 在 $I_{n}$ 上的值的最小上界。序列 ${a_{n}}$ 是递减的，因为在 $I_{n}$ 上的最小上界是 $I_{n + 1}$ 上的一个上界。此外，所有的 $a_{n} \geq L$ ，其中 $L$ 是 $f (x)$ 在 $I_{1}$ 上的任意一个下界。因此 $lim a_{n}$ 存在。我们把它记作 $a$ 。现在我们来证明

a = lim_{x \to x_{0}} f (x) \cdot

给定 $ϵ > 0$ 。那么存在一个 $N$ ，使得对所有 $n > N$ 有 $| a - a_{n} | < \frac{ϵ}{3} \cdot$ 由于 $a_{n}$ 是 $f (x)$ 在 $I_{n}$ 上的最小上界，在 $I_{n}$ 中存在一个 $x_{n}$ ，使得 $| a_{n} - f (x_{n}) | < \frac{ϵ}{3}$ ，并且这对每个 $n$ 都成立。还存在一个，使得每当时，就有现在取 $n > N$ 使得我们断言 $δ_{n}$ 是极限定义中一个合适的 $δ$ 。也就是说，设 $0 < | x - x_{0} | < δ_{n} \cdot$ 那么，同时因此

| f (x) - f (x_{n}) | < \frac{ϵ}{3} \cdot

现在我们知道 $| f (x_{n}) - a_{n} | < \frac{ϵ}{3} \cdot$ ，又因为 $n > N$ ，

| a_{n} - a | < \frac{ϵ}{3} \cdot

因此

我们看到，每当 $0 < | x - x_{0} | < δ_{n}$ 时，就有 $| f (x) - a | < ϵ$ 。因此

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a,

证明完毕。

习题 3.

证明序列的柯西准则： $lim a_{n}$ 存在当且仅当以下条件成立：对任意 $ϵ > 0$ ，存在一个 $N$ ，使得每当 $m > N$ 且 $n > N$ 时，就有 $| a_{m} - a_{n} | < ϵ$ 。