连续性

在区域 $D$ 上定义的函数 $w = f (z)$ ，如果对于 $D$ 中的每一点 $ζ$ 都有则称该函数在 $D$ 内连续。这里复变函数的极限定义与实变情形相同。如果对于任意 $ε > 0$ ，存在一个 $δ (ε, ζ) > 0$ ，使得 $| f (z) - a | < ε 每当 0 < | z - ζ | < δ (ε, ζ),$ 我们就称当 $z$ 趋于 $ζ$ 时， $f (z)$ 趋向极限 $a$ ，并记作 $lim_{z \to ζ} f (z) = a .$ 因此，连续性的定义等价于要求：对于任意预先给定的 $ε > 0$ ，存在一个 $δ (ε, ζ)$ ，使得对于所有满足 $| z - ζ | < δ (ε, ζ)$ 的 $z$ ，都有 $| f (z) - f (ζ) | < ε$ 。从几何上看，这意味着无论以 $f (ζ)$ 为中心画出多么小的圆，总能找到 $ζ$ 的一个邻域，其像完全落在这个给定的圆内。

函数的极限概念仅比连续性概念稍许一般化。若函数在某点有极限，只需将该点的函数值改为极限值，即可使函数在该点连续。

连续性的定义还可以用其他方式给出。函数 $w = f (z)$ 在其定义域的点 $ζ$ 处连续，如果对于 $D$ 中满足 $z_{n} \to ζ$ 的每个序列 ${z_{n}}$ ，都有同样， $w = f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 在 $D$ 中连续，当且仅当其实部 $u$ 和虚部 $v$ 分别作为 $x$ 和 $y$ 的函数在 $D$ 中连续。读者可以自行证明这三种定义的等价性。

如果两个函数 $f (z)$ 和 $g (z)$ 都在 $D$ 中连续，那么显然 $f (z) \pm g (z)$ 以及 $f (z) \cdot g (z)$ 也在 $D$ 中连续。此外，商 $\frac{f (z)}{g (z)}$ 在 $D$ 的任何满足 $g (z) \neq 0$ 的子域中都是连续的。

定理 2.1。连续函数的连续函数仍是连续的。更确切地说，如果 $g (z)$ 连续，且将区域 $D$ 映到点集，而 $f (z)$ 在一个包含的区域中连续，那么函数 $F (z) = f (g (z))$ 在 $D$ 中连续。

其证明直接应用 (2.01)。现在很容易找出大量连续函数类。由 $f (z) = 常数$ 和 $f (z) = z$ 均连续这一事实可得，任何多项式 $p (z) = a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{n} z^{n}$ 在整个 $z$ 平面上连续，并且任何有理函数 $g (z) = \frac{a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{m} z^{m}}{b_{0} + b_{1} z + \dots + b_{n} z^{n}}$ 在分母不为零的任何区域内都是连续的。

对于连续函数，只要取 $ζ$ 的一个充分小的 $δ$ -邻域，其中 $δ$ 依赖于 $ε$ 和 $ζ$ ，即 $δ = δ (ε, ζ)$ ，函数值就会落在 $f (ζ)$ 的一个 $ε$ -邻域内。一般来说，不可能完全独立于点 $ζ$ 来选取 $δ$ 。例如，函数 $\frac{1}{z}$ 在区域 $0 < | z | < 1$ 内连续。但是，给定任意 $ε$ ，并不存在一个固定的 $δ$ 值能用于整个区域；因为很明显，当 $ζ$ 趋近于原点时，必须让 $δ \to 0$ 。与此相对，我们称一个函数是一致连续的，如果对于每个正数 $ε$ ，存在一个 $δ (ε) > 0$ ，使得对于 $D$ 中满足 $| z - ζ | < δ (ε)$ 的所有点 $z$ 和 $ζ$ ，都有 $| f (z) - f (ζ) | < ε .$ 对于有界闭区域，连续性蕴含一致连续性。事实上，我们可以更一般地陈述如下：

定理 2.2。如果函数 $f (z)$ 在有界闭点集 $\overset{―}{D}$ 上连续，那么它是一致连续的。

令 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ ，我们看到这一结果是实函数相应定理的推论。 ¹

将函数表示为函数项收敛级数有许多强有力的技巧。因此，有必要具备一种方法，判断以收敛级数之和给出的函数是否连续。下面的定理提供了这样一个准则：

定理 2.3。一个在区域 $D$ 中定义为关于 $z$ 连续且一致收敛的函数项级数之和的函数 $f (z)$ 必定连续。

证明。假设有 $f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z),$ 其中所有 $f_{n} (z)$ 在 $D$ 中连续。记 $n$ 项后的余项为 $R_{n} (z)$ ，我们可以写出 $f (z) = \sum_{ν = 1}^{n} f_{ν} (z) + R_{n} (z) .$ 因此，对于 $D$ 中的任意两点 $z$ 和 $ζ$ ，有因为级数在 $D$ 中一致收敛，所以对于任意正数 $ε$ ，存在一个 $N (ε)$ ，使得当 $n > N (ε)$ 且对所有 $z \in D$ 时，有 $| R_{n} (z) | < \frac{ε}{3}$ 。此外，有限个连续函数之和是连续的，因此我们可以确定一个 $δ (ε, ζ)$ ，使得 $| \sum_{ν = 1}^{n} f_{ν} (z) - \sum_{ν = 1}^{n} f_{ν} (ζ) | < \frac{ε}{3} 对于 | z - ζ | < 0.$ 于是，给定 $ε > 0$ ，我们可以找到 $δ > 0$ ，使得 $| f (z) - f (ζ) | < ε 每当 | z - ζ | < δ (ε, ζ),$ 从而我们证明了 $f (z)$ 连续。 ◻

作为本定理以及关于幂级数一节的第一个定理的推论，我们看到，幂级数在其收敛的内部表示一个连续函数。