本征应变与残余应力

在固体力学中，我们经常遇到非弹性应变。非弹性应变的例子包括：

热膨胀：由温度升高或降低引起的体积或形状的可逆变化。
塑性应变：在引起屈服的载荷移除后残留的永久、不可逆变形（通常由于一种一维缺陷，即位错的运动所致）。
初始应变：
初始应变表示在施加任何新的外部载荷或进行当前分析之前材料中已经存在的变形状态。我们通常遇到的初始应变是由于材料的制造或加工历史造成的。工程师不模拟零件整个制造历史，而是将残留变形作为基准“初始应变”。
错配应变：
错配应变发生在微观尺度，当外来粒子或新相在母材内部形成，但其自然几何尺寸或晶格间距与周围原子晶格不完全匹配。由于两种材料结合为一体，它们被迫拉伸或压缩以相互适应。
- 例子：在沉淀硬化铝合金（如航空用铝）中，铜原子聚集在一起，在铝晶格中形成微小的“沉淀物”。这些富铜沉淀物的自然晶体间距与周围的铝基体略有差异。沉淀物自然尺寸与其在铝基体中所占“孔洞”之间的纯粹几何差异即为错配应变。另一个典型例子是半导体中的掺杂，在一个硅晶格中用一个较大的原子（如磷）替代硅原子，就会产生局部错配应变。

Toshio Mura 一般将这些非弹性应变称为本征应变。J.D. Eshelby (1957) 最初将其称为“无应力应变”。一些研究者也称它们为“固有应变”。在本文中，我们将使用 Mura 的术语，并将本征应变张量表示为 $ϵ_{i j}^{*}$ 。

当局部本征应变在物体内部发展时，连续介质协调原理要求材料在物理上不能撕裂或重叠。因此，周围材料被迫拉伸、压缩或弯曲，以适应变形并确保无缝配合。为维持这种强制协调所需的内部应力称为本征应力。由于没有施加外力，这种内部应力状态必须在整个部件上完全平衡，即自平衡。在工程实践中，这些通常由制造过程或塑性屈服引起的自平衡内部应力更常被称为残余应力。

(注：“eigen”前缀来自德语，意为“本征的”或“固有的”。需要明确的是，本征应变和本征应力与应变或应力张量的数学特征值毫无关系。正如我们已讨论的，那些特征值代表主应变和主应力，是在剪应变为零的特定坐标系中的正应变或正应力。注意，在各向异性材料中，这两个坐标系不一定重合。)

本征应变的示例

假设一个置于更大、无约束材料块中的非均匀体（区域 Ω）的温度升高了 ΔT。该非均匀体“想要”膨胀。如果它完全自由且无附着，则会经历纯无应力的热应变。对于各向同性材料，这种本征应变写为：

ϵ_{i j}^{*} = α δ_{i j} Δ T,

其中 α 是热膨胀系数，δ_ij 是克罗内克δ（若 i = j 则为 1，若 i ≠ j 则为 0）。这假设在所有法向方向上膨胀是均匀的。如果材料是各向异性的，膨胀取决于方向，此时 αδ_ij 将被一般的热膨胀张量 α_ij 取代。

A 2D scientific diagram representing a material domain. A large, light-blue irregular shape represents the matrix, labeled with the letter 'D'. Centered inside it is a smaller, irregular yellow shape representing an inclusion or inhomogeneity, labeled with the Greek letter 'Ω'. Both shapes are outlined with clean black strokes against a white background.

虚拟本征应变（等效夹杂法）

需要注意的是，本征应变并不总是字面上的物理变形；它们也可以作为一种非常有效的数学工具。在微力学中，工程师经常分析非均匀体，即弹性刚度与周围基体不同的材料区域。计算这些异质材料在外部载荷作用下的应力场在数学上很繁琐。然而，J.D. Eshelby (1957) 展示了一个巧妙的变通方法：我们可以用原始基体材料数学上替换“外来”粒子，前提是在该区域引入一个纯粹理论的虚拟本征应变（常称为等效本征应变）。精心计算此虚拟本征应变，使得产生的应力和应变场完全与刚性粒子的实际情况相匹配。这一概念性突破，即等效夹杂^[1]法，是复合材料力学的基石，因为它允许研究人员使用均匀、各向同性材料的更为简单的方程来求解复杂的多材料问题。

A technical illustration showing the Eshelby Equivalent Inclusion Method. Two side-by-side figures are separated by a mathematical equivalence symbol (≣). Each figure shows a blue 3D ellipsoid with internal axes, embedded in a light blue field. The entire system is surrounded by black arrows representing a remote stress field, labeled σij. The left ellipsoid is labeled with the stiffness tensor C ijkl of Ω (representing an inhomogeneity), while the right ellipsoid is labeled with the eigenstrain (representing the equivalent inclusion).

应变的分解

在处理无限小变形时，总应变 𝜖_ij 可加性分解为弹性应变 $ϵ_{i j}^{p l}$ 和本征应变 $ϵ_{i j}^{*}$ ：

ϵ_{i j} = ϵ_{i j}^{e l} + ϵ_{i j}^{*} .

区分这三种应变至关重要：

总应变 (𝜖_ij)：这是材料真实的物理几何变形。由于材料必须保持连续性（无撕裂或重叠），总应变必须是协调的。这意味着它直接来自一个连续的位移场 u_i：
$ϵ_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial u_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$
本征应变 (𝜖*_ij)：材料想要发生的固有的、无应力的形状变化。
弹性应变 (𝜖_ij^el)：由外力或内应力引起的应变。

含本征应变的胡克定律

在线弹性材料中，应力张量是弹性应变的线性函数。因此，我们有

σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{i j}^{e l},

其中 C_ijkl 是四阶刚度张量。

将应变分解代入该方程，得到应力、总应变和本征应变之间的关系：

σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} (ϵ_{i j} - ϵ_{i j}^{*}) .

采用指标记法，其中对重复指标 k 和 l 隐含求和，固体力学中的上述方程写为：

σ_{i j} = C_{i j k l} ϵ_{i j}^{e l} = C_{i j k l} (ϵ_{i j} - ϵ_{i j}^{*}) .

参考文献

Eshelby, J. D. (1957). 椭球体夹杂弹性场的确定及相关问题。 Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 241(1226), 376–396. https://doi.org/10.1098/rspa.1957.0133
Korsunsky, A. M. (2017). 残余应力和本征应变教学论文. Butterworth-Heinemann.
Mura, T. (1987). 固体缺陷微力学（第2修订版）. Springer.