应变能

内能与热力学第一定律

当外力作用于可变形体时，这些力对物体做功。根据热力学第一定律，外力对系统所做的功 $\delta W$ 和流入系统的热量 $\delta Q$ 等于其内能变化 $\delta U$ 和动能变化 $\delta K$ 之和： $$\delta W+\delta Q=\delta U+\delta K.$$

在绝热条件（$\delta Q=0$）和准静态平衡（$\delta K=0$）下，上式简化为： $$\delta W=\delta U$$ 因此，对物体所做的无穷小外力功完全以内能的形式储存。

外力的虚功

设物体中的位移场为 $$𝐮=(u,v,w)$$ 并设 $$\delta 𝐮=(\delta u,\delta v,\delta w)$$ 为无穷小的虚位移，它们是位移场中与边界条件一致的任意微小变化。

相应的无穷小虚应变由虚位移梯度得到： $$\delta {ϵ}_{xx}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial x},\delta {ϵ}_{yy}=\frac{\partial (\delta v)}{\partial y},\delta {ϵ}_{zz}=\frac{\partial (\delta w)}{\partial z}$$ 以及剪应变： $$\delta {\gamma }_{xy}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial y}+\frac{\partial (\delta v)}{\partial x},\text{等等}$$

外力所做的功由两部分组成： 1. 面力的功 $\delta W_S$，以及
2. 体力的功 $\delta W_B$。

因此， $$\delta W=\delta W_S+\delta W_B$$

体力的功由下式给出 $$\boxed{\delta W_B={\int }_V\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV}$$ 其中 $𝐛=[b_x,b_y,b_z]$ 是单位质量的体力。

面力的功由下式给出 $$\boxed{\delta W_S={\int }_s𝐭\mathbf{\cdot }\widehat{𝐧}dS}$$

对于外法线为 $$𝐧=[n_x{n}_y{n}_z]$$ 的面元，牵引力向量定义为： $$𝐭=𝐧\cdot 𝝈$$ 其中 $𝝈$ 是柯西应力矩阵：

而虚位移是列向量： $$\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}\delta u\\ \delta v\\ \delta w\end{array}\right].$$

因此，表面上的虚功为： $$\boxed{\delta W_S={\int }_S𝐭\cdot \delta 𝐮dS={\int }_S(𝐧𝝈)\delta 𝐮dS}$$

按照您的推导显式展开此项：

定义向量 $$𝐅=𝝈\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\delta u+{\sigma }_{xy}\delta v+{\sigma }_{xz}\delta w\\ {\sigma }_{yx}\delta u+{\sigma }_{yy}\delta v+{\sigma }_{yz}\delta w\\ {\sigma }_{zx}\delta u+{\sigma }_{zy}\delta v+{\sigma }_{zz}\delta w\end{array}\right],$$ 则 $$\boxed{𝐭\cdot \delta 𝐮=n_x{F}_x+n_y{F}_y+n_z{F}_z}$$ 这清楚地表明表达式 $𝐭\cdot \delta 𝐮$ 充当法向量 $𝐧$ 与向量 $𝐅=𝝈\delta 𝐮$ 的点积。

使用散度定理

应用散度定理将面积分转换为体积分： $$\boxed{{\int }_S(F_x{n}_x+F_y{n}_y+F_z{n}_z)dS={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV}$$

因此， $$\delta W_S={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV$$

由于 $$\frac{\partial {\sigma }_{xi}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yi}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zi}}{\partial z}+\rho b_i=0,$$ 我们得出结论 $$\delta W={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$ 

应变能密度

根据热力学第一定律，在绝热和静态条件下（$\delta W=\delta U$），可得 $$\delta U={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$

（由机械力引起的）内能变化 每单位体积称为应变能密度，记为 $U_0$： $$\delta U={\int }_V\delta U_{0}dV.$$

通过比较最后两个方程，我们得到 $$\delta U_0={\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz}.$$

上述方程可以用微分形式表示为 $$\boxed{d{U}_0={\sigma }_{xx}d{ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}d{ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}d{ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}d{\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}d{\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}d{\gamma }_{yz}.}$$

注意，涉及剪应变的项可以写成对应于张量剪应变 ${ϵ}_{ij}$ 的两个分量之和。
例如： $${\sigma }_{xy}{\gamma }_{xy}={\sigma }_{xy}{ϵ}_{xy}+{\sigma }_{yx}{ϵ}_{yx}.$$

因此，

由上述表达式可得

参考文献

1. Boresi, A. P., Schmidt, R. J., & Sidebottom, O. M. (1993). 高等材料力学（第6版）. John Wiley & Sons.
2. Malvern, L. E. (1969). 连续介质力学导论. Prentice Hall.
3. Sokolnikoff, I. S. (1956). 弹性力学数学理论（第2版）. McGraw-Hill.