广义胡克定律

在经典弹性中，假设每一点的应力仅取决于同一点的弹性应变分量。¹ 换句话说，该理论是局部的——某点的力学响应完全由该点的变形状态决定： $σ_{i j} = F_{i j} (ϵ_{11}, ϵ_{22}, \dots, ϵ_{12}) (i, j = 1, 2, 3)$ 此外，我们假设如果所有应变分量为零，则应力为零（除非存在残余应力）。

刚度与柔度张量

将 $F_{i j}$ 展开为幂级数：或者更简洁地写为： $σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{k l} .$ 其中 $C_{i j k l}$ 被称为材料的刚度张量或弹性常数张量或弹性模量。²

一般而言， $C_{i j k l} = C_{i j k l} (𝐱)$ ；即，弹性系数逐点变化。若 $C_{i j k l}$ 与位置无关，则称材料是均匀的。

（*）中的线性方程组可以求解出 $ϵ_{11}$ 、 $ϵ_{12}$ 、…、 $ϵ_{33}$ ，并用 $σ_{11}$ 、 $σ_{12}$ 、…、 $σ_{33}$ 表示它们。结果将是另一个线性方程组：或更简洁地： $ϵ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} S_{i j k l} σ_{k l} .$ 这里我们处理的是另一个四阶张量 S_ijkl，称之为柔度张量。

由于 $i, j, k$ 和 $l$ 各自在 1、2、3 之间变化， $C_{i j k l}$ （或 $S_{i j k l}$ ）有 81 个分量。然而，并非所有分量都是独立的。利用某些对称性，我们可以减少独立分量的数量。在本节中，我们将看到，如果材料是各向同性的，即其性质在所有方向上都相同，那么只需要两个弹性模量就足以确定所有刚度分量。

我们可以用来减少独立分量数量的第一个事实是应力和应变的对称性。应力的对称性 $σ_{i j} = σ_{j i}$ 意味着刚度张量对前两个指标对称： $C_{i j k l} = C_{j i k l} .$ 类似地，应变的对称性 $ϵ_{k l} = ϵ_{l k}$ 意味着 $C_{i j k l}$ 对后两个指标对称： $C_{i j k l} = C_{i j l k} .$ 由于每对 $(i j)$ 和 $(k l)$ 可以取六组不同的值 (1,1)、(2,2)、(3,3)、(1,2)=(2,1)、(1,3)=(3,1)、(2,3)=(3,2)，因此最多只有 36 个不同的弹性常数。

沃伊特记号

使用双指标记号（如 σᵢⱼ）并处理四阶张量 C_ijkl 比较繁琐。因此，我们引入沃伊特记号来简化应力和应变的表示。

应力张量分量被排列成一个 6×1 的列向量： $[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}]$ 即，我们按以下方式编号： $[\begin{matrix} ① & ⑥ & ⑤ \\ ② & ④ \\ ③ \end{matrix}]$ 类似地，相应的应变分量排列成一个 6×1 向量。注意剪应变前的因子 2，引入它是为了确保应力与应变向量之间的功共轭性。

$[\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ 2 ϵ_{23} \\ 2 ϵ_{13} \\ 2 ϵ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \\ ϵ_{4} \\ ϵ_{5} \\ ϵ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{13} \\ γ_{12} \end{matrix}]$

注意：不要将 σ₁、σ₂、σ₃ 和 ε₁、ε₂、ε₃ 与应力和应变的主值混淆。在这里，它们的含义完全不同。

弹性系数矩阵

利用沃伊特记号，应力与应变之间的线性关系可以用矩阵 [c_mn] 表示：

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} & c_{16} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} & c_{26} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{61} & \dots & c_{66} \end{matrix}] [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{13} \\ γ_{12} \end{matrix}]$

由上可知，要用应变表示应力，我们需要刚度矩阵 [c] 中的 36 个独立常数。

注意：尽管 Cᵢⱼₖₗ 是一个四阶张量，但沃伊特记号中的 6×6 矩阵 cₘₙ 并非张量。因此，我们不能使用张量变换规则来求它在新坐标系中的分量。我们必须先变换应力和应变分量，然后再推导新的刚度矩阵。

应变能

之前我们已经给出应变能密度 U₀ 为如果存在应变能密度函数，我们可以将应力表示为： $σ_{i j} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{i j}}$ 利用沃伊特记号，可将应变能密度写为 $d U_{0} = σ_{1} d ϵ_{1} + σ_{2} d ϵ_{2} + σ_{3} d ϵ_{3} + σ_{4} d ϵ_{4} + \dots + σ_{6} d ϵ_{6}$ 以及 $σ_{i} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{i}}$ 若材料是线弹性的，则有 $σ_{i} = \sum_{j = 1}^{6} c_{i j} ϵ_{j}$ 。将上式代入 dU₀ 的表达式： $d U_{0} = \sum_{i = 1}^{6} σ_{i} d ϵ_{i} = \sum_{i = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{6} c_{i k} ϵ_{k} d ϵ_{i}$ 积分此表达式得到应变能密度： $U_{0} = \sum_{i = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{6} \frac{1}{2} c_{i k} ϵ_{k} ϵ_{i}$ 取两次偏导数，可得： $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{i} \partial ϵ_{j}} = \frac{\partial}{\partial ϵ_{i}} (\frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ_{j}}) = \frac{\partial σ_{j}}{\partial ϵ_{i}} = c_{j i}$ $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{j} \partial ϵ_{i}} = \frac{\partial σ_{i}}{\partial ϵ_{j}} = c_{i j}$ 由于对函数的求导顺序无关紧要³： $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{i} \partial ϵ_{j}} = \frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{j} \partial ϵ_{i}}$ 我们必须有：⁴ $c_{j i} = c_{i j}$ 这意味着刚度矩阵 [c] 必须是对称的。该对称性将不同的弹性常数的数量减少到 21 个（6 个对角线元素 + 15 个上对角线元素）。

材料对称性的影响

如果材料的结构具有某种形式的对称性，独立弹性常数的数量（最一般各向异性情况为 21 个）可以减少。

具有一个对称平面的材料

假设材料在 z=0（xy 平面）处具有一个材料对称平面。这意味着若我们相对于该平面反射坐标系，材料的响应是相同的。定义一个新的坐标系 (x', y', z')，使得：在新坐标系中，由于材料的对称性，弹性系数保持不变，但在该变换下，应力和应变分量变化如下： σₓₓ 的本构关系在两个坐标系中必须相同。在原坐标系中： $σ_{x x} = c_{11} ϵ_{x x} + c_{12} ϵ_{y y} + c_{13} ϵ_{z z} + c_{14} γ_{y z} + c_{15} γ_{x z} + c_{16} γ_{x y}$ 在新坐标系中：代入变换后的分量： $σ_{x x} = c_{11} ϵ_{x x} + c_{12} ϵ_{y y} + c_{13} ϵ_{z z} - c_{14} γ_{y z} - c_{15} γ_{x z} + c_{16} γ_{x y}$ 为了使两个方程对所有可能的应变都相同，必须有： $c_{14} = - c_{14} ⟹ c_{14} = 0$ $c_{15} = - c_{15} ⟹ c_{15} = 0$ 对其他应力分量应用相同的逻辑，可得 c₂₄ = c₂₅ = c₃₄ = c₃₅ = c₄₆ = c₅₆ = 0。弹性矩阵简化为： $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & c_{16} \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & c_{26} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & c_{45} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{55} & 0 \\ c_{16} & c_{26} & c_{36} & 0 & 0 & c_{66} \end{matrix}]$ 这使得确定刚度张量所需的弹性常数数量减少到 13 个。

正交各向异性材料

正交各向异性材料具有三个相互垂直的对称平面和三个相应的正交轴。许多材料，如木材、轧制金属板、纤维增强层合板、钢筋混凝土，都可以视为正交各向异性。

如果我们将坐标轴与这些平面的法线对齐，矩阵会进一步简化。施加第二个对称平面（例如 xz 平面）将使额外的系数为零。正交各向异性材料的最终矩阵为： $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & 0 \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} \end{matrix}]$ 此时独立常数的数量为 9。

立方材料

立方材料具有立方体的对称性。除了是正交各向异性外，如果交换坐标轴（例如 x → y、y → z、z → x），其性质保持不变。这引入了进一步的约束：立方材料弹性常数矩阵只有 3 个独立常数： $c_{11} 、 c_{12}$ 和 $c_{44}$ ： $[c_{m n}] = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\ c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} \end{matrix}]$ 许多材料，包括具有 FCC、BCC 和金刚石立方结构的材料，都具有立方对称性。此类材料的例子包括铝、铜、镍、银、金、铁、硅、锗。

例 1.

例题：⁵ 硅 (Si) 和锗 (Ge) 都是具有立方晶胞的晶体。Si 的晶胞边长为 $a_{Si} = 5.428$ Å，Ge 的为 $a_{Ge} = 5.658$ Å。在厚度为 100 µm 的 Si 衬底表面上外延（即原子位置匹配）生长一层 10 nm 厚的 Ge 薄膜。计算 Ge 薄膜中的应力和应变分量。

相应的弹性常数（单位 GPa）如下：

Si： $c_{11} = 165.8$ ， $c_{12} = 63.9$ ， $c_{44} = 79.6$ 。
Ge： $c_{11} = 128.5$ ， $c_{12} = 48.2$ ， $c_{44} = 66.7$ 。

解答

该问题描述了在更厚的硅衬底上生长一层锗薄膜。这种情况在半导体工业中很常见。

外延生长： 这意味着 Ge 薄膜的晶格在界面处被迫与 Si 衬底的晶格对齐。
厚衬底假设： 因为 Si 衬底（100 µm）远比 Ge 薄膜（10 nm）厚，我们可以假设衬底是刚性模板。它不会因薄膜的存在而弯曲或应变。薄膜必须承担所有变形。
坐标系： 我们建立一个坐标系，使轴 1 (x) 和 2 (y) 位于薄膜平面内，平行于立方体边缘，轴 3 (z) 垂直于薄膜表面。

计算面内应变（ $ϵ_{11}$ 和 $ϵ_{22}$ ）

薄膜中的应力源自 Ge 和 Si 之间的晶格失配。Ge 的自然晶格常数大于 Si。为了实现外延生长，Ge 原子必须在薄膜平面内被压缩以匹配 Si 原子较小的间距。

应变定义为长度变化除以原始长度。 * 原始长度（Ge 的自然间距） = $a_{G e}$ * 最终长度（强制匹配的 Si 间距）= $a_{S i}$

因此，由于材料的立方对称性，面内应变 $ϵ_{11}$ 和 $ϵ_{22}$ 相等。

这给出面内应变约为 -4.1%。负号正确表明 Ge 薄膜在 x 和 y 方向处于压缩状态。由于晶轴与我们的坐标系对齐，所有剪切应变均为零（ $ϵ_{12} = ϵ_{13} = ϵ_{23} = 0$ ）。

计算面外应变（ $ϵ_{33}$ ）

薄膜在 x-y 平面内被压缩，但在 z 方向（垂直于表面）可以自由膨胀或收缩。物理上，由于薄膜的上表面是自由的，其上不能有力作用。这意味着垂直于表面的应力必须为零。 $σ_{33} = 0$ 现在我们可以利用立方晶体的广义胡克定律将该应力与应变联系起来。 $σ_{33}$ 的方程为： $σ_{33} = c_{12} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} + c_{11} ϵ_{33} .$ 利用条件 $σ_{33} = 0$ 和 $ϵ_{11} = ϵ_{22}$ ，可以求解未知的面外应变 $ϵ_{33}$ 。 $0 = c_{11} ϵ_{33} + c_{12} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{11} = c_{11} ϵ_{33} + 2 c_{12} ϵ_{11}$

整理求解 $ϵ_{33}$ ： $ϵ_{33} = - \frac{2 c_{12}}{c_{11}} ϵ_{11}$ 现在，代入锗薄膜的数值：

$ϵ_{33} = - \frac{2 \times 48.2 GPa}{128.5 GPa} \times (- 0.0406) \approx + 0.0304$ 这给出面外应变约为 +3.0%。正号表示 z 方向的伸长。

计算面内应力（ $σ_{11}$ 和 $σ_{22}$ ）

最后，我们可以利用胡克定律和已求得的应变值计算面内应力。由于对称性（ $ϵ_{11} = ϵ_{22}$ ），面内应力也相等（ $σ_{11} = σ_{22}$ ）。这被称为双轴应力状态。

$σ_{11}$ 的方程为： $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} + c_{12} ϵ_{33}$ 将 $ϵ_{33}$ 的表达式代入该方程： $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{11} + c_{12} (- \frac{2 c_{12}}{c_{11}} ϵ_{11})$ 现在，可以提取公因子 $ϵ_{11}$ 得到最终表达式： $σ_{11} = σ_{22} = [c_{11} + c_{12} - \frac{2 c_{12}^{2}}{c_{11}}] ϵ_{11}$

代入 Ge 的数值：面内应力为 -5.7 GPa。负号证实了存在很大的压应力。该应力非常高，并在薄膜中储存了大量的应变能。实际上，如果薄膜生长超过某个“临界厚度”，该能量通常会通过形成称为失配位错的缺陷释放出来，从而释放部分应变。

各向同性材料

各向同性材料在每个方向上都具有相同的性质。这是材料对称性的最高级别。要使材料各向同性，其本构关系（从而其弹性常数）必须在坐标系的任意旋转后保持不变。

我们从立方材料的刚度矩阵开始，它有三个独立常数（ $c_{11}$ 、 $c_{12}$ 和 $c_{44}$ ）。各向同性材料是立方材料的一个特例，因此我们可以通过施加旋转不变性来找到各向同性所需的附加约束。

将 x 轴和 y 轴绕 z 轴旋转 45°，并要求剪切应力–应变关系在旋转后的坐标系中保持相同形式，我们发现对于各向同性材料，弹性常数必须满足

c_{44} = \frac{1}{2} (c_{11} - c_{12}) .

我们考虑一个新的坐标系 (x’, y’, z’)，它相对于原坐标系 (x, y, z) 绕 z 轴旋转 45°。可以导出应力分量和应变分量的变换关系。

为了我们的目的，我们需要 x’-y’ 平面内剪切分量的以下关系：或者等价地

在旋转后的（带撇的）坐标系中，剪切应力与工程剪切应变之间的关系必须与原坐标系中的形式相同。在 Voigt 记号中，这是 $σ_{6} = c_{66} ϵ_{6}$ 或者 $σ_{12} = c_{44} γ_{12} .$ 对于各向同性材料，弹性常数 $c_{44}$ 在两个坐标系中必须相同。因此，在带撇的坐标系中：将 (i) 和 (ii) 代入上式得到：现在，我们利用原坐标系中立方材料的本构关系来表示应力 $σ_{11}$ 和 $σ_{22}$ ： $σ_{11} = c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22} σ_{22} = c_{12} ϵ_{11} + c_{11} ϵ_{22}$ 现在，我们计算 $(σ_{22} - σ_{11})$ 项： $σ_{22} - σ_{11} = (c_{12} ϵ_{11} + c_{11} ϵ_{22}) - (c_{11} ϵ_{11} + c_{12} ϵ_{22}) = (c_{12} - c_{11}) ϵ_{11} + (c_{11} - c_{12}) ϵ_{22} = (c_{11} - c_{12}) (ϵ_{22} - ϵ_{11})$ 最后，我们将这个结果代回方程 (iii)： $\frac{1}{2} (c_{11} - c_{12}) (ϵ_{22} - ϵ_{11}) = c_{44} (ϵ_{22} - ϵ_{11})$ 由于这个关系必须对任意应变状态成立，应变项 $(ϵ_{22} - ϵ_{11})$ 可以消去，从而得到各向同性材料所需的约束条件： $c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}$

这使得各向同性材料只剩下 2 个独立的常数。它们通常表示为 Lamé 参数，λ 和 μ（其中 μ 是剪切模量，G）。 $\Rightarrow c_{11} = λ + 2 μ$ 将这些代入本构方程，例如对于 σ₁₁：类似地，对于所有分量：这些关系可以用张量标记简洁地写成： $σ_{i j} = λ (\sum_{k = 1}^{3} ϵ_{k k}) δ_{i j} + 2 μ ϵ_{i j}$ 其中 δᵢⱼ 是 Kronecker delta：利用爱因斯坦求和约定（即重复指标自动求和），方程变得更加紧凑：

各向异性因子

在各向同性材料一节中，我们导出了立方材料成为各向同性所必须满足的具体条件： $c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}$ 这个关系提供了一种量化立方晶体弹性各向异性程度的有用方法。我们可以将这个表达式重新排列成一个比值。这就产生了Zener 各向异性比（或称各向异性因子），记为 A，其定义为： $A = \frac{2 c_{44}}{c_{11} - c_{12}}$ 这个无量纲因子提供了一种衡量材料各向异性程度的方法：

如果 A = 1，则各向同性条件完全满足。材料的弹性性质在所有方向相同。
如果 A 偏离 1，则材料是各向异性的。偏离的大小表示各向异性的程度。对于许多立方金属，这个值可能明显偏离 1。例如，铁的值约为 2.41，而铌的值约为 0.49。

各种材料的弹性常数

材料	晶体结构	c₁₁ (GPa)	c₄₄ (GPa)	c₁₂ (GPa)	E (GPa)	$ν$	μ (GPa)	A
Ag	fcc	124.00	46.10	93.40	43.75	0.43	46.10	3.01
Al	fcc	107.30	28.30	60.90	63.20	0.36	28.30	1.22
Au	fcc	192.90	41.50	163.80	42.46	0.46	41.50	2.85
Cu	fcc	168.40	75.40	121.40	66.69	0.42	75.40	3.21
Ir	fcc	580.00	256.00	242.00	437.51	0.29	256.00	1.51
Ni	fcc	246.50	127.40	147.30	136.31	0.37	127.40	2.57
Pb	fcc	49.50	14.90	42.30	10.52	0.46	14.90	4.14
Pd	fcc	227.10	71.70	176.00	73.41	0.44	71.70	2.81
Pt	fcc	346.70	76.50	250.70	136.29	0.42	76.50	1.59
Cr	bcc	339.80	99.00	58.60	322.56	0.15	99.00	0.70
Fe	bcc	231.40	116.40	134.70	132.28	0.37	116.40	2.41
K	bcc	4.14	2.63	2.21	2.60	0.35	2.63	2.73
Li	bcc	13.50	8.78	11.44	3.00	0.46	8.78	8.52
Mo	bcc	440.80	121.70	172.40	343.86	0.28	121.70	0.91
Na	bcc	6.15	5.92	4.96	1.72	0.45	5.92	9.95
Nb	bcc	240.20	28.20	125.60	153.95	0.34	28.20	0.49
Ta	bcc	260.20	82.60	154.50	145.08	0.37	82.60	1.56
V	bcc	228.00	42.60	118.70	146.72	0.34	42.60	0.78
W	bcc	522.40	160.80	204.40	407.43	0.28	160.80	1.01
C	dc	949.00	521.00	151.00	907.54	0.14	521.00	1.31
Ge	dc	128.40	66.70	48.20	102.09	0.27	66.70	1.66
Si	dc	166.20	79.80	64.40	130.23	0.28	79.80	1.57
GaAs	—	118.80	59.40	53.70	85.37	0.31	59.40	1.82
GaP	—	141.20	70.50	62.50	102.85	0.31	70.50	1.79
InP	—	102.20	46.00	57.60	60.68	0.36	46.00	2.06
KCl	—	39.50	6.30	4.90	38.42	0.11	6.30	0.36
LiF	—	114.00	63.60	47.70	85.86	0.29	63.60	1.92
MgO	—	287.60	151.40	87.40	246.86	0.23	151.40	1.51
NaCl	—	49.60	12.90	12.40	44.64	0.20	12.90	0.69
TiC	—	500.00	175.00	113.00	458.34	0.18	175.00	0.9

参考资料

参考文献

Nye, J. F. (1985). 晶体的物理性质：用张量和矩阵表示. Oxford University Press.
Shames, I. H., & Cozzarelli, F. A. (1992). 弹性与非弹性应力分析 (第2版). Prentice Hall.
Sokolnikoff, I. S. (1956). 弹性数学理论 (第2版). McGraw-Hill.

然而，这个假设并非必需。在非局部弹性理论中，某一点的应力不仅取决于该点的应变，还可能取决于其空间变化（即应变梯度），或更一般地，取决于相邻点处的应变场。在 C. Eringen 提出的非局部弹性理论中，一点的应力通过积分关系与整个物体的应变相关。具体来说，应力表示为整个域内应变的加权平均值，其中加权函数赋予邻近点的应变更大的影响，而随着距离增加，远处点的贡献逐渐减小。因此，在非局部弹性中，材料响应反映了长程相互作用，能够捕捉经典（局部）弹性无法准确描述的一些效应，特别是在小尺度或具有微结构的材料中。↩︎
更具体地说， $C_{i j k l}$ 是一个四阶张量，意味着其分量在坐标系之间的变换遵循其中是新旧坐标轴之间的方向余弦。这里，和 ${\hat{𝐞}}_{i}$ 分别表示新、旧坐标系中沿轴和 $i$ 轴的单位向量。↩︎
这里我们假设二阶偏导数是连续的。↩︎
在刚度张量方面 $\frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{k l} \partial ϵ_{i j}} = \frac{\partial^{2} U_{0}}{\partial ϵ_{k l} \partial ϵ_{i j}} \Rightarrow C_{i j k l} = C_{k l i j}$ ↩︎

此例选自锁志刚教授2008年工程科学240：固体力学课程讲义。↩︎