纳维方程

我们可以将所有方程用位移场表示。其主要优势在于，它将三组控制方程（平衡方程、几何方程和本构方程）合并为一个矢量方程，从而将问题从未知量15个（应力、应变、位移）减少到仅3个（位移矢量$𝐮$的分量）。

该推导涉及系统的代换，从平衡方程开始，逐步将应力替换为应变，再将应变替换为位移。

我们从指标表示法的三个基本方程组开始。

1. 平衡方程（运动方程）： 该方程将应力张量的散度与体积力和惯性力联系起来。 其中 ${\sigma }_{ji}$ 为应力张量，$\rho$ 为密度，$b_i$ 为单位质量的体积力，$u_i$ 为位移矢量。

另一种形式：

2. 本构关系（各向同性材料的广义胡克定律）： 该定律利用两个拉梅参数 $\lambda$ 和 $\mu$（剪切模量 $G$）将应力与应变联系起来。 其中 ${ϵ}_{ij}$ 为应变张量，${ϵ}_{kk}={ϵ}_{11}+{ϵ}_{22}+{ϵ}_{33}$ 为体积应变（应变张量的迹），${\delta }_{ij}$ 为克罗内克 δ。

另一种形式：

3. 几何（应变-位移）关系： 该方程定义了小变形情况下应变与位移梯度之间的关系。 或 代换过程：

步骤A：用位移表示应力 首先，将几何关系(3)代入本构关系(2)。 $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu [\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})]$$ 体积应变项 ${ϵ}_{kk}$ 也需要用位移表示： $${ϵ}_{kk}=u_{k,k}=u_{1,1}+u_{2,2}+u_{3,3}$$ 将其代回，得到完全用位移表示的应力：

另一种形式：首先，注意应变张量的迹是位移矢量的散度： $$\text{tr}(𝝐)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$$ 将此式和几何关系(3’)代入本构关系(2’)： $$𝝈=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+2\mu [\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]$$

步骤B：将应力代入平衡方程 现在，将应力表达式(4)代入平衡方程(1)。由于应力张量是对称的（${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$），我们可以用 ${\sigma }_{ij}$ 替换 ${\sigma }_{ji}$。 $${[\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}+\mu (u_{i,j}+u_{j,i})]}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ 现在我们对方括号中的项关于 $x_j$ 求导： $$(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}+(\mu u_{i,j}{)}_{,j}+(\mu u_{j,i}{)}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ 假设 $\lambda$ 和 $\mu$ 为常数，我们逐项分析： * 第1项： $(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}=\lambda (u_{k,k}{)}_{,j}{\delta }_{ij}$。由于克罗内克 δ ${\delta }_{ij}$，该项仅在 $j=i$ 时非零。因此，导数变为关于 $x_i$ 的导数：$\lambda (u_{k,k}{)}_{,i}=\lambda u_{k,ki}$。 * 第2项： $(\mu u_{i,j}{)}_{,j}=\mu u_{i,jj}$。 * 第3项： $(\mu u_{j,i}{)}_{,j}=\mu u_{j,ij}$。假设位移场充分光滑，我们可以交换微分次序：$\mu u_{j,ji}=\mu (u_{j,j}{)}_{,i}$。

合并这些项得到： $$\lambda u_{k,ki}+\mu u_{i,jj}+\mu u_{j,ji}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ 注意，$u_{k,k}$ 和 $u_{j,j}$ 都表示位移场的散度。我们可以将第一项和第三项合并：

这就是指标表示法下的拉梅-纳维叶方程。

另一种形式：

现在，取应力表达式(4’)的散度，并将其代入平衡方程(1’)： $$\mathrm{\nabla }\cdot [\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+\mu (\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ 我们利用以下标准向量微积分恒等式： * $\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐈)=\mathrm{\nabla }f$ * $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐮)={\mathrm{\nabla }}^2𝐮$（向量拉普拉斯） * $\mathrm{\nabla }\cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$

将这些恒等式应用到我们的方程中（假设 $\lambda$ 和 $\mu$ 为常数）： $$\lambda \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu ({\mathrm{\nabla }}^2𝐮)+\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ 最后，合并带有散度梯度的项：

用位移表示的边界条件

我们在上一节讨论的边界条件 $$n_j{\sigma }_{ij}=t_i^{}\text{在 }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{ 上}$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{在 }{\mathrm{\Gamma }}_u\text{ 上}$$ 可以用位移场表示为 $$[n_j\mu (u_{i,j}+u_{j,i})+n_i\lambda u_{k,k}]=t_i^{\ast }\text{在 }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{ 上}$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{在 }{\mathrm{\Gamma }}_u\text{ 上}。$$