圣维南原理

摘自 Sokolnikoff, I. S. (1941). 弹性数学理论. 布朗大学.

从弹性理论的基本边值问题的表述可以明显看出，由于边界条件的复杂形式，这些问题的精确解很可能会带来巨大的数学困难。如果边界条件稍作修改，通常可以获得问题的解，并且值得注意的是，在弹性理论的技术应用中，人们只能近似地给出边界条件的数学表述，因此问题的数学解仅代表对实际情况的一种近似。

1855年，B. de Saint Venant 提出了一个与弹性理论在实际问题中的应用非常吻合的原理。该原理的实质可以表述如下：

短语 “静力等效” 意味着这两种力分布具有相同的合力和相同的合力矩。

为了说明该原理的含义，考虑一根长梁，其一端固定在刚性墙中，另一端受到一个力分布的作用，该力分布产生一个合力 F 和一个力矩为 M 的力偶。

现在，有无限多种力分布可以作用在梁的端部，并具有相同的合力 F 和相同的合力矩 M。

圣维南原理断言，尽管作用区域附近的应力和应变分布可能差异很大，但只要施加的力系是静力等效的，局部分布的偏心性对远离作用点足够远处的应力状态就不会产生明显影响。

该原理在实际应用中非常有用，因为它允许人们改变边界条件，从而简化问题。

从该原理陈述的普遍性来看，人们可能会怀疑，要在纯粹数学的基础上对所有情况都证明该原理并不容易。在具体实例中，可以计算由各种静力等效的力系所产生的应力分布，例如在梁的问题中，可以合理地假设，在距离力分布区域的最大线性尺寸大约十倍的距离处，局部偏心性就不会被感受到。

我们将在接下来的几章中对该原理加以应用。