等效节点力

在推导公式时，IVW = EVW，我们简单地假设只存在节点力，这就是为什么 EVW = $\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$。现在假设存在体积力和表面牵引力。

设 $𝐛$：单位质量的体积力 $\overline{𝐭}$：指定的边界力或单位面积的表面牵引力。（这里我在牵引向量上加一横线表示它是给定的）

那么 $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\overline{𝐭}\cdot \delta 𝐮dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ 可以写为 $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \delta {𝐮}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\delta {𝐮}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ 然而，$$\delta 𝐮=𝐍\delta 𝐪$$ 或 $$\{u\}=[N]\{\delta q\}$$ 因此，

令 EVW = IVW，得到 $$𝐊𝐪=𝐅$$ 其中 $$𝐊={\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV$$ 且 $$𝐅={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho {𝐍}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{\mathrm{\Gamma }}{𝐍}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+𝐏$$

示例：如果梁的受载如下图所示，

那么 $$\overline{t}(x)=-\frac{w}{L}x$$ 且等效广义节点力为： $$P_1={\int }_0^L{N}_1(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{3wL}{20}$$ $$M_1={\int }_0^L{N}_2(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{w{L}^2}{30}$$ $$P_2={\int }_0^L{N}_3(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{7wL}{20}$$ $$M_2={\int }_0^L{N}_4(x)\overline{t}(x)dx=\frac{w{L}^2}{20}$$ 其中