矩形元素

虽然三角形单元简单且可用于对任何二维几何进行网格划分，但其精度受到常应变假设的限制。为了改进这一点，我们引入四节点矩形单元。该单元允许更复杂的应变分布，从而获得更准确的结果。

1. 位移场

对于该单元，位移场（例如，u 位移）使用四项多项式进行近似。一个关键的补充是 xy 项，它允许非常数应变分布。

$$u(x,y)=a_1+a_{2}x+a_{3}y+a_{4}xy$$

这可以用矩阵形式表示：

通过在四个节点上强制使用该方程，我们可以用节点位移 u 求解系数 a。这就得到了熟悉的表达式 $u=𝐍𝐮$，其中 N 是形函数向量。

2. 形函数

与强行进行矩阵求逆不同，矩形单元的形函数可以通过一维线性插值函数的乘积巧妙构建。考虑一个尺寸为 a 和 b 的矩形。我们可以在每个方向上定义简单的线性函数：

• 在 x 方向： $f_1(x)=1-\frac{x}{a}$ $f_2(x)=\frac{x}{a}$
• 在 y 方向： $g_1(y)=1-\frac{y}{b}$ $g_2(y)=\frac{y}{b}$

然后，通过取这些一维函数的乘积来形成二维形函数。对于节点 i，形函数是在该节点处等于 1 的一维函数的乘积。

• $N_1(x,y)=f_1(x)g_1(y)=(1-\frac{x}{a})(1-\frac{y}{b})$
• $N_2(x,y)=f_2(x)g_1(y)=(\frac{x}{a})(1-\frac{y}{b})$
• $N_3(x,y)=f_2(x)g_2(y)=(\frac{x}{a})(\frac{y}{b})$
• $N_4(x,y)=f_1(x)g_2(y)=(1-\frac{x}{a})(\frac{y}{b})$

3. 应变-位移矩阵与刚度

由于形函数现在包含 x 和 y 项，其导数不再为常数。例如，对于 $N_1$：

$$\frac{\partial N_1}{\partial x}=-\frac{1}{a}(1-\frac{y}{b}),\frac{\partial N_1}{\partial y}=-\frac{1}{b}(1-\frac{x}{a})$$

B 矩阵现在将包含 x 和 y 的函数项。这意味着由 $\{ϵ\}=𝐁𝐪$ 给出的应变在单元内不再是常数。它可以线性变化，这是相对于常应变三角形的一个显著改进。

单元刚度矩阵使用标准公式计算：

$$𝐊={\int }_V{𝐁}^T𝐄𝐁dV=t{\int }_0^b{\int }_0^a𝐁(x,y{)}^T𝐄𝐁(x,y)dxdy$$

由于 B 矩阵是 x 和 y 的函数，被积函数不再是常数，必须显式进行积分。