有限元法中的虚功原理

1. 基本概念

有限元方法（FEM）根本上是虚功原理的应用。让我们看看这个原理的内容。

虚位移

考虑物体内的虚位移场 $\delta 𝐮$。虚位移是任意的¹，除了必须满足边界约束条件；也就是说，在边界上规定了位移的地方，虚位移为零。

外力虚功（EVW）

外力虚功（EVW）是真实面力和体积力所做的功，由下式给出 $$EVW={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}𝐭\cdot \delta 𝐮dS+{\int }_{\mathrm{\Omega }}𝐛\cdot \delta 𝐮dV$$ 第一个积分是在规定了面力的物体边界部分（𝛤_t）上进行。第二个积分是在物体的体积（Ω）上进行。

如果体积力可以忽略，只有集中力 P 作用在某些节点上（或者如果分布的面力被转换为等效的节点力，稍后将解释），那么外力虚功简化为 $$V{W}_E=\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ 其中：

• P 是作用在结构节点上的真实外载荷（力）向量。
• $\delta 𝐪$ 是对应节点上的虚位移向量。

内力虚功（IVW）

内力虚功是真实内部应力 σ 与虚应变 $\delta 𝝐$ 的乘积在物体体积（Ω）上的积分。

$$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ 其中：

• $\delta 𝝐$ 是由虚位移 $\delta 𝐮$ 产生的虚应变。 $$\delta 𝝐=\left[\begin{array}{c}\delta {ϵ}_{xx}\\ \delta {ϵ}_{yy}\\ \delta {ϵ}_{zz}\\ \delta {\gamma }_{zx}\\ \delta {\gamma }_{zy}\\ \delta {\gamma }_{xy}\end{array}\right]$$
• σ 是由真实外载荷 P 产生的真实内部应力。 $$𝝈=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{zx}\\ {\sigma }_{zy}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]$$

如果材料是线弹性的，那么利用本构关系（线弹性材料的胡克定律），我们可以用应变表示应力：

• ε 是与真实应力 σ 对应的真实应变。
• E 是材料弹性矩阵（包含杨氏模量和泊松比等属性）。例如，在平面应变问题中： 将本构定律代入 IVW 表达式得到： $$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝐄𝝐dV$$

虚功原理

虚功原理指出，对于每一个允许的虚位移场，当且仅当外力虚功（EVM）等于内力虚功（IVE）时，物体处于平衡状态。 $$EVW=IVW$$ 或 $$\delta {𝐪}^T𝐏={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ 我们之前已经证明了这个原理。

2. 应变-位移矩阵（B）

有限元中一个核心概念是将单元内的连续应变场与其离散的节点位移 q 联系起来。这是通过应变-位移矩阵 B 实现的。

B 矩阵由单元形函数的导数导出，稍后将讨论，并且在一般情况下是单元内坐标 x = (x, y, z) 的函数。为了强调，我们可以写： $$𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)𝐪$$

类似地，虚应变与虚节点位移相关：

$$\delta 𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)\delta 𝐪$$

通过将这些关系代入 IVW 方程，我们可以完全用节点位移表示内力虚功：

3. 单元刚度矩阵（K）的推导

通过将外力虚功和内力虚功的表达式相等：

$$\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏=\delta {𝐪}^{𝖳}\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV\right)𝐪$$

由于该方程必须对任意虚位移 $\delta 𝐪$ 成立，我们可以从两边消去 $\delta {𝐪}^T$ 项，得到有限元的基本关系式：

其中 K 是一个方阵，称为刚度矩阵，定义为：

这个积分是线性静力学问题有限元公式的核心。它将几何和材料属性转化为一个将节点力与节点位移联系起来的矩阵。