应力函数方法

如果应力分量可以用单个标量函数ϕ(x,y)表示，那么相应的应变和位移分量同样可以用同一个函数表示。因此，二维弹性问题中的未知数数量被减少到一个。这种方法由乔治·比德尔·艾里于1862年提出，利用了一个称为艾里应力函数的函数ϕ(x,y)。

定义与平衡方程

艾里应力函数，记为ϕ(x,y)，定义使得应力分量由其二阶偏导数导出：
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
在无体积力的情况下。

艾里应力函数形式的原理

如果我们有一对函数f(x, y)和g(x, y)，满足关系

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y},

并且我们找到一个标量函数

U (x, y)

使得

f = \frac{\partial U}{\partial y}, g = \frac{\partial U}{\partial x} .

由于U的混合偏导数相等（

\frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x}

），上述关系自动满足。这一观察为用势函数来表述弹性问题提供了一个有用的类比。

对于无体积力的二维问题，平衡方程为
$\frac{\partial σ_{x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y} = 0, \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} = 0.$
从第一个方程，我们引入一个函数 $A (x, y)$ 使得
$σ_{x} = \frac{\partial A}{\partial y}, τ_{x y} = - \frac{\partial A}{\partial x},$
从第二个方程，引入另一个函数 $B (x, y)$ 使得
$σ_{y} = \frac{\partial B}{\partial x}, τ_{x y} = - \frac{\partial B}{\partial y} .$
因为
$- τ_{x y} = \frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial B}{\partial y},$
函数A和B可以通过另一个标量函数ϕ(x, y)相关联，使得
$A = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, B = \frac{\partial ϕ}{\partial x} .$
将这些代入之前的定义，直接得到用ϕ表示的应力分量：
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = -, \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x, \partial y} .$

因此，标量函数 $ϕ (x, y)$ 被称为艾里应力函数，通过其二阶导数生成所有面内应力分量。

这一定义的巧妙之处在于，对于任何具有连续二阶导数的函数

ϕ

，平衡方程自动满足。

将这些定义代入第一个平衡方程可以证明这一点：

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}) + \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial x \partial y^{2}} - \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial y \partial x \partial y} = 0$

第二个平衡方程以同样的方式得到满足。这是一个显著的优势：任何由艾里函数导出的应力场都能保证处于平衡状态。

协调性、本构关系与双调和方程

虽然平衡得到满足，但得到的应变场还必须是协调的，这意味着它必须对应于一个连续的物理变形。这一物理要求由应变协调方程来体现：

$\frac{\partial^{2} ϵ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ϵ_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} γ_{x y}}{\partial x \partial y}$

为了进一步推导，我们必须使用材料的本构关系将应变与应力联系起来。对于线弹性、各向同性材料，这就是胡克定律。在这里，我们必须区分两种类型的二维分析。

双调和方程的推导

让我们使用平面应力条件推导 $ϕ$ 的控制方程。¹ 我们从将胡克定律代入应变协调方程开始：
$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{x} - ν σ_{y})] + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{y} - ν σ_{x})] = \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} [\frac{τ_{x y}}{G}]$
两边乘以 $E$ 并整理可得：
$(\frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial x^{2}}) - ν (\frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial x^{2}}) = \frac{E}{G} \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y} = 2 (1 + ν) \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y}$
现在，代入艾里应力函数的定义（ $σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}$ ， $σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}$ ， $τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$ ）：
$(\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}}) - ν (\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{2} \partial x^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}) = - 2 (1 + ν) \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
简化表达式：
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
两边含有 $ν$ 的项相互抵消，得到：
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
整理即得著名的双调和方程：
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = 0$
此方程可简洁地写为 $\nabla^{4} ϕ = 0$ 。值得注意的是，如果使用平面应变本构关系进行同样的推导，结果是完全相同的双调和方程。

考虑体积力

1. 重力的特殊情况

考虑一个仅受自身重量作用的物体。取y轴垂直向上，体积力分量为 $B_{x} = 0$ 和 $B_{y} = - ρ g$ 。为满足修改后的平衡方程，我们调整应力定义：
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + ρ g y, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + ρ g y, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
当这些定义用于协调性推导时，附加的 $ρ g y$ 项相互抵消。 $ϕ$ 的控制方程仍然保持为齐次双调和方程 $\nabla^{4} ϕ = 0$ 。重力的影响只需在求得 $ϕ$ 之后加到最终的应力计算中。

2. 使用势函数的一般情况

任何保守体积力场都可以用一个势函数 $V (x, y)$ 来描述，其中 $B_{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$ ， $B_{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$ 。一般的应力定义变为：
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + V, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + V$
在此一般情况中，控制方程变为非齐次双调和方程：
$\nabla^{4} ϕ = - (1 - ν) \nabla^{2} V （平面应力情况）$
对于平面应变情况，前面的常数为 $- (1 - 2 ν)$ 。这个一般方程验证了我们对重力情况的结果，因为对于 $V = ρ g y$ ，拉普拉斯算子 $\nabla^{2} V$ 为零。

多项式求解方法

求解双调和方程的一个通用策略是假设解是 $x$ 和 $y$ 的多项式。解的一般形式为
$ϕ (x, y) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m n} x^{m} y^{n} .$

0次和1次（ $m + n \leq 1$ ）：这些项产生的应力为零，可以忽略。
2次和3次（ $m + n = 2$ 或$3$）：任何三次及以下的多项式自动满足双调和方程，因为其所有四阶导数均为零。其系数由问题的边界条件确定。二次多项式产生常应力状态，而三次多项式产生线性变化的应力场。
4次及更高次（ $m + n \geq 4$ ）：对于这些项，系数不再独立。它们必须选择得满足双调和方程。例如，对于项 $ϕ_{4} = a_{40} x^{4} + a_{22} x^{2} y^{2} + a_{04} y^{4}$ ，系数必须满足约束条件 $3 a_{40} + a_{22} + 3 c_{04} = 0$ 。

例题

1. 单轴拉伸
对于承受均匀拉应力 $σ_{x} = S$ 的杆，我们需要 $\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} = S$ 。积分两次得：
$ϕ = \frac{S}{2} y^{2}$
这个二次多项式自动满足 $\nabla^{4} ϕ = 0$ 。

更多细节，请参阅本节。

2. 梁的纯弯曲
纯弯曲梁中的应力为 $σ_{x} = - \frac{M y}{I}$ 。为实现这个线性变化的应力， $ϕ$ 必须是一个三次函数。我们设 $ϕ = C y^{3}$ 。这给出 $σ_{x} = 6 C y$ 。与已知公式比较，我们求得常数为 $C = - M / (6 I)$ ，因此解为：
$ϕ = - \frac{M}{6 I} y^{3}$