均布横向荷载作用下的梁弯曲

考虑一根长度为 $L$、高度为 $h$、宽度为 $b$ 的简支梁。梁承受强度为（单位长度上的力）$w$ 的均匀横向载荷。力的强度（单位面积上的力）为 $q={\displaystyle \frac{w}{b}}$。

我们将坐标系的原点置于梁的中心。x 轴沿中性轴贯穿梁的长度方向，y 轴垂直向上。上下表面分别位于 $y=\pm h/2$ 处。

梁上下边缘的边界条件为： 在端部 $x=\pm L/2$ 处的条件规定了合力。总剪力必须等于支座反力（$V=\pm wL/2$）： 端部无净法向力： 并且，由于梁是简支的，端部无弯矩：

根据材料力学初等理论，我们知道 ${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}$。由于该载荷下的弯矩 $M(x)$ 是 $x$ 的二次函数，我们预期 ${\sigma }_x$ 包含与 $x^{2}y$ 成比例的项。由于 ${\sigma }_x={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}}$，这提示 $\varphi$ 应包含形如：$$c_1{x}^2{y}^3$$ 的项。仅此项给出的应力分量为：$${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=2c_1{y}^3\text{和}{\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=-6c_{1}x{y}^2.$$ 这些表达式自身并不满足边界条件 (i)。

为满足条件 ${\sigma }_y{|}_{y=-h/2}=0$ 和 ${\sigma }_y{|}_{y=h/2}=-q$，我们需要向 ${\sigma }_y$ 添加形如 $\alpha y+b$ 的项。这要求 $\varphi$ 包含形如：$$c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2$$ 的项。

我们尝试采用以下形式的应力函数：$$\varphi =c_1{x}^2{y}^3+c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2$$ 通过施加关于 ${\sigma }_y$ 和 ${\tau }_{xy}$ 的边界条件 (i)（这同样需要此 $\varphi$ 形式所对应的项），得到：$$c_1=\frac{q}{h^3},c_2=-\frac{3q}{4h},c_3=-\frac{q}{4}$$ 因此 $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2$$ 然而，该函数并不满足双调和方程 ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$。实际上：$${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^4}\left(\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3\right)=\frac{24q}{h^3}y$$ 为使应力函数成为双调和函数，我们必须添加一项以抵消此结果。形如 $c_4{y}^5$ 的项可以做到。将 $\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2+c_4{y}^5$ 代入双调和方程，我们得到：$$\frac{24q}{h^3}y+\frac{{\partial }^4}{\partial y^4}(c_4{y}^5)=\frac{24q}{h^3}y+120c_{4}y=0$$ 因此，必须有：$$c_4=-\frac{24q}{120h^3}=-\frac{q}{5h^3}$$ 改进后的艾里应力函数为：$$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5$$ 该应力函数给出以下应力分量： 这些应力分量满足条件 (i)、(ii) 和 (iii)。然而，条件 (iv)（端部弯矩为零）被违反。在 $x=\pm L/2$ 处的弯矩为： 为消除这个多余的弯矩，我们必须向 $\varphi$ 添加一个修正项，以产生大小相等、方向相反的弯矩。形如 $c_5{y}^3$ 的项代表纯弯曲状态。添加 ${\varphi }_{corr}=c_5{y}^3$ 给出 ${\sigma }_{x,corr}=6c_{5}y$。产生的弯矩为 $M_{corr}={\int }_{-h/2}^{h/2}by(6c_{5}y)dy=\frac{b{c}_5{h}^3}{2}$。令 $M+M_{corr}=0$ 得到：$$c_5=-\frac{2}{b{h}^3}\left[bq(\frac{L^2}{8}-\frac{h^2}{20})\right]=\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})$$ 最终，完整的艾里应力函数为：$$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5+\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})y^3$$ 注意，添加的 $y^3$ 项自动满足双调和方程，且对 ${\sigma }_y$ 或 ${\tau }_{xy}$ 无贡献，因此条件 (i)、(ii) 和 (iii) 仍满足。

最终应力分量为： 将 $q$ 替换为 $w/b$，并注意到惯性矩为 $I=\frac{1}{12}b{h}^3$，可以重新写出 ${\sigma }_x$ 的表达式。根据初等理论，弯矩为 $$M(x)=\frac{w}{2}(\frac{L^2}{4}-x^2).$$ 而 $${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}+\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y).$$ 第一项正是初等欧拉-伯努利梁理论的结果。第二项是弹性理论给出的修正项。该修正项与 $x$ 无关，且如果梁是细长的（即其高度 $h$ 相比于跨度 $L$ 很小），则该项很小。

如果在端部 $x=\pm L/2$ 处，法向力 ${\sigma }_x$ 按修正项所给定的规律分布：$${\sigma }_x{|}_{x=\pm L/2}=\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y)$$ 则此解是精确的。这些力没有等价的净合力和等价的净弯矩。因此，根据圣维南原理，在距端部大于梁高的位置处，无论支座的实际实现方式如何，${\sigma }_x$ 的实际分布都将非常接近此解。

材料力学结果与弹性力学结果之间的差异源于初等理论假设纵向纤维处于纯拉伸或纯压缩状态（${\sigma }_y=0$）。然而，弹性力学解表明纤维之间存在压应力。

${\tau }_{xy}$ 的公式与材料力学公式 ${\tau }_{xy}=\frac{VQ}{Ib}$ 所得结果一致。