应力的静水压分量与偏量分量

实验表明，材料在非常大的静水压力（球形应力状态）下可以承受而不发生塑性变形。^[1] 在许多问题中，特别是在塑性理论中，希望将总应力中能有效产生塑性变形的部分分离出来。这称为应力偏量。另一部分是静水应力分量 $σ_{m}$ 。

在塑性理论中，因此必须将总应力状态数学上分离成两个分量：

引起形状变化的分量称为偏应力（或应力偏量），记作（有时记作 $s_{i j}$ ）。引起体积变化的分量是静水应力，记作 $σ_{m}$ 。

平均或静水应力 $σ_{m}$ 是正应力的平均值或三个主应力的平均值（ $p$ 是平均正压力）。

偏应力是总应力减去静水部分后剩下的部分：

或

其中 $𝐈$ 是 3×3 单位张量（矩阵）， $δ_{i j}$ 是克罗内克δ：

当 当

注意：应力偏量的非对角线元素与应力张量的对应元素相同。即

当

偏应力张量的主分量由下式给出：

由这些定义，可以很容易地证明主偏应力之和总是为零：

当应力偏量在任意坐标系（ $x, y, z$ ）中表示时，其主值可通过求解以下三次方程得到：

系数 $J_{2}$ 和 $J_{3}$ 是应力偏量的第二和第三不变量。它们被称为“不变量”，因为它们的值与用于描述应力状态的坐标系无关。这些量在数学塑性理论中是基础性的。

不变量可由应力张量的分量计算如下：

第一不变量， $J_{1}$ ：

第二不变量， $J_{2}$ ：

（对 和 求和）

第三不变量， $J_{3}$ ：

我们还可以证明^[2]

J_{2} = - \frac{1}{3} I_{1}^{2} + I_{2}

和

J_{3} = I_{3} - \frac{1}{3} I_{1} I_{2} + \frac{3}{27} I_{1}^{3},

其中 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 和 $I_{3}$ 是应力张量的第一、第二和第三不变量。

应变偏量

类似于定义应力偏量的方式，我们可以定义偏应变（或应变偏量）。即，通过从应变张量 $ϵ_{i j}$ 中减去平均应变，得到应变偏量：

或

如果材料是各向同性且遵循胡克定律，则有

其中 $G$ 是剪切模量。