牵引向量与应力张量关系

为了求任意平面（其单位法向量为 $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 80 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ ）上的牵引向量，我们分析一个无限小四面体的平衡。面积为 $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 82 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ 的面为斜面，其在坐标平面上的投影面积分别为 $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 83 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ 、 $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 84 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ 和 $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 85 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ ，其单位法向量为 $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 81 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ 。

由于四面体处于静力平衡状态，所有力的总和必须为零。平衡 x 方向的力可得： $t_{x} Δ S = σ_{x x} Δ S_{x} + σ_{y x} Δ S_{y} + σ_{z x} Δ S_{z} + ρ b_{x} Δ V$ 其中，项 $t_{x} Δ S$ 是斜面上的力， $σ$ 项是坐标面上的力，而 $ρ b_{x} Δ V$ 是体积力。

我们可以利用两个关键的几何关系：

坐标面的面积是斜面面积的投影： $Δ S_{x} = n_{x} Δ S, Δ S_{y} = n_{y} Δ S, Δ S_{z} = n_{z} Δ S .$
四面体的体积为 $Δ V = \frac{1}{3} h Δ S$ ，其中 $h$ 是从点 $P$ 到斜面的垂直高度。

将这些代入力平衡方程并除以 $Δ S$ ，我们得到： $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z} + ρ b_{x} h$

为求出点 $P$ 处的牵引向量，我们让四面体的尺寸缩小。在此极限情况下，高度 $h$ 趋近于零，使得体积力项消失。由此得到牵引向量的 x 分量： $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z}$

将同样的逻辑应用于 y 和 z 方向，我们得到其余分量：这组方程被称为柯西应力公式。以矩阵符号表示，将牵引向量和法向量视为行向量时，此关系写为： $[\begin{matrix} t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] 或 𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈$

如前所述，牵引向量（也称为应力向量）可以分解为两个分量：(1) 一个正应力分量和 (2) 一个剪应力分量。

作用在内部表面上点P处的牵引向量（也称为应力向量）t(n) 分解为两个分量：垂直于表面的正应力分量 σn 和平行于表面的剪应力分量 τn。 — **图 1** 作用在内部表面上点 P 处的牵引向量（也称为应力向量）t(n) 分解为两个分量：垂直于表面的正应力分量 σn 和平行于表面的剪应力分量 τn。

由上图可知， $σ_{n} = 𝐭^{(\hat{𝐧})} \cdot \hat{𝐧}$ 因此 $τ_{n} = | 𝐭^{(\hat{𝐧})} - σ_{n} \hat{𝐧} |$

例 1.

例题¹ 某材料质点处于以下应力状态： $𝝈 = [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}]$

计算与 x、y、z 轴分别交于 1、2、3 的平面上的牵引向量。
计算该平面上正应力的大小。
计算该平面上剪应力的大小。
计算该平面上剪应力的方向。

解答

我们首先求出垂直于该平面的单位向量。

与 x、y、z 轴分别交于 x=1、y=2、z=3 的平面方程为： $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ 此平面的法向量为： $𝐧 \propto [\begin{matrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

归一化： $𝐧 = \frac{1}{\sqrt{(1)^{2} + (1 / 2)^{2} + (1 / 3)^{2}}} [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}]$

(a) 平面上的牵引向量

牵引向量为： $𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈 = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}]$

(b) 平面上的正应力

正应力为 $𝐭$ 在 $𝐧$ 上的投影：

$σ_{n} = 𝐭 \cdot \hat{𝐧} = \frac{22}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{33}{7} \cdot \frac{3}{7} + \frac{56}{7} \cdot \frac{2}{7} = 7$

(c) 和 (d) 剪应力向量及其大小

剪应力向量是 $𝐭$ 在平面内的切向分量：

$𝝉 = 𝐭 - σ_{n} 𝐧$ $𝝉 = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}] - 7 [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] = \frac{1}{7} [\begin{matrix} - 20 & 12 & 42 \end{matrix}]$

大小为： $| 𝝉 | = \sqrt{{(- \frac{20}{7})}^{2} + {(\frac{12}{7})}^{2} + {(\frac{42}{7})}^{2}} = 6.86$

方向为： $\hat{𝝉} = \frac{𝝉}{| 𝝉 |} = \frac{1}{\sqrt{(- 20)^{2} + 12^{2} + 42^{2}}} [\begin{matrix} - 20 \\ 12 \\ 42 \end{matrix}]$

✅ 最终结果

牵引向量： $𝐭 = (\frac{22}{7}, \frac{33}{7}, \frac{56}{7})$
正应力： $σ_{n} = 7$
剪应力大小： $| 𝝉 | = 6.86$
剪应力方向：沿 $[- 20, 12, 42]$ 方向

本例题来自哈佛大学 ES240 课程 Suo 教授的讲义，略有改编。↩︎