牵引力或应力向量

设想一个假想的面将物体切成两部分。

表面一侧的材料对另一侧的材料施加一个力系。

图2 移除物体的一部分，揭示出作用在新暴露的内部表面上、以P点为中心的连续分布的内力。

在该表面上围绕点 $P$ 的一个小面积元 $Δ S$ 上，该面积上实际分布力的合力为一力 $Δ 𝐅$ 和一力矩 $Δ 𝐌$ 。设 $\hat{𝐧}$ 为表面在 $P$ 点处的外法向单位向量。

图3 在点P周围的小面积ΔS上，分布内力用一个合力ΔF和一个合力矩ΔM表示。向量n垂直于该表面。

现在，我们让围绕 $P$ 点的 $Δ S$ 缩小至零，使其最大尺寸也趋于零。¹当 $Δ 𝐅$ 和 $Δ 𝐌$ 同样趋于零时，连续介质力学的一个基本假设是，比值 $\frac{Δ 𝐅}{Δ S}$ 趋于一个确定的极限，而力矩的影响则消失。²这个力比值的极限被称为牵引向量或应力向量，记作 $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ ： $𝐭^{(\hat{𝐧})} = \frac{d 𝐅}{d S} .$

图4 当面积缩小到无穷小的点dS时，力的强度被定义为牵引向量，即无穷小力dF与单位面积dS之比。

还有一个更强的假设，被称为柯西公设：牵引向量 $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ 仅取决于点 $P$ 和表面的取向 $\hat{𝐧}$ ，而与面元的形状或表面的曲率无关。上标 $(\hat{𝐧})$ 表示这种对法向量的依赖性。³

应力向量可以分解为两个分量：一个垂直于 $Δ S$ 的正应力 $σ_{n}$ 和一个位于面内的剪应力（或切应力） $τ_{n}$ 。

图5 内部表面上点P处的牵引向量（也称应力向量）t(n)被分解为两个分量：一个垂直于表面作用的正应力分量σn，和一个平行于表面作用的剪应力分量τn。

注意， $Δ S \to 0$ 与材料由原子和分子组成这一事实相矛盾，但请记住 (a) 我们假设了材料是连续的，且粒子之间没有空隙。(b) 上述定义非常抽象，实践中从未如此使用。↩︎
连续介质力学的一个分支，称为偶应力理论（或Cosserat理论），探讨了 $\frac{Δ 𝐌}{Δ S}$ 不趋近于零的材料。相反，它趋向于一个称为偶应力向量的极限，这对于模拟具有显著内部微结构的材料很重要。↩︎
注意， $Δ S \to 0$ 与材料由原子和分子组成这一事实相矛盾，但请记住 (a) 我们假设了材料是连续的，且粒子之间没有空隙。(b) 上述定义非常抽象，实践中从未如此使用。↩︎