物体内部应力的变化

在受力物体中，应力分量通常随点位置变化而变化。这些变化并非任意，而是受牛顿第二运动定律支配。将该定律应用于一个无穷小微元，我们可以得到物体内应力变化的基本方程。

考虑一个尺寸为 $\mathrm{\Delta }x$、$\mathrm{\Delta }y$ 和 $\mathrm{\Delta }z$ 的微元。应力分量作用在该微元的每个面上。在这个立方体微元的每个面上，应力分量可能与对面不同。例如，如果一个面上的 xx 方向应力分量为 ${\sigma }_{xx}$，则对面上的应力分量取为 ${\sigma }_{xx}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}$。

设 $𝐛$ 为单位质量的体力。例如，如果只考虑重力，则 $b=g$，其中 $g$ 是重力加速度。因此，体力在 $x$ 方向的分力为 $$\rho b_x\mathrm{\Delta }V=\rho b_x(\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z).$$其中 $\rho$ 是该点的质量密度。

现在，将所有面上由应力引起的力和体力在 xxx 方向上的分量求和，并应用牛顿第二定律 $\sum F_x=m{a}_x$，得到 简化后，两边除以体积 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$，得到： $$\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{yx}}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{zx}}{\mathrm{\Delta }z}+\rho b_x=\rho a_x$$ 当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$、$\mathrm{\Delta }y\to 0$ 和 $\mathrm{\Delta }z\to 0$ 时，有限差分比变为偏导数： $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho a_x$$ 对 y 和 z 方向重复此过程（$\sum F_y=m{a}_y$ 和 $\sum F_z=m{a}_z$），我们得到完整的方程组： 这三个方程可以简洁地写为： $$\boxed{\sum _{j=1}^3\frac{\partial {\sigma }_{ji}}{\partial x_j}+\rho b_i=\rho a_i(i=1,2,3)}$$ 这通常也用向量或张量符号表示为： $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho 𝐚$$ 这意味着 这个方程被称为柯西第一运动定律。