应力张量的对称性

考虑一个尺寸为 $\mathrm{\Delta }x$、$\mathrm{\Delta }y$ 和 $\mathrm{\Delta }z$ 的矩形长方体。

根据牛顿第二定律的转动形式，有 $$\sum M_z=I_{zz}{\alpha }_z$$ 其中 $M_z$ 是绕 z 轴的合力矩，$I_{zz}$ 是关于 $z$ 轴的转动惯量（或转动质量），${\alpha }_z$ 是角加速度。

由静力学，我们知道矩形块绕形心 $z$ 轴的转动惯量为 $$I_{zz}=\frac{1}{12}m[(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2]$$ 其中 $m$ 为该元素的质量。用密度表示 $m$，可写为 $$m=\rho \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$$ 其中 $\rho$ 是该点处的材料质量密度。

对 $M_z$ 有贡献的应力分量是 $xy$ 平面内的剪应力。体积力对力矩没有贡献。因此，总力矩可表示为 将此式与惯性表达式相等，得到 忽略高阶小量，我们得到 $$0={\sigma }_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z-{\sigma }_{yx}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z,$$ 从而导出
$${\sigma }_{xy}={\sigma }_{yz}$$

将同样的逻辑应用于绕 x 轴和 y 轴的转动，我们可以证明 ${\sigma }_{yz}={\sigma }_{zy}$ 和 ${\sigma }_{xz}={\sigma }_{zx}$。这意味着一般情况下 $${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$ 应力张量始终是对称的，只需 6 个独立分量（而非 9 个）即可确定。这一结果无论物体是静止、匀速运动还是加速运动都成立。¹ 这一结果被称为 柯西第二运动定律。