平面应力. 二维应力变换

平面应力状态

在许多工程问题中，不需要进行完整的三维应力分析。这类情况的一个简单且非常常见的例子是我们处理平面应力状态系统。我们说一个物体处于平面应力状态，当某一平面上的应力只有正应力时。该平面通常取为与z轴垂直。在这种情况下，涉及z方向的剪应力为零：σ_zx=σ_zy=0，应力张量形如： 平面应力状态的一个特例是，当除了剪应力外，z方向的正应力σ_zz也为零时，我们便处理所谓的平面应力问题。也就是说，在平面应力问题中，应力张量形如： 在这种情况下，σ_xx、σ_yy和σ_xy沿物体厚度方向不变。即它们仅是x和y的函数，而与z无关。¹

平面应力问题的另一重要类别是所谓的平面应变问题，稍后将讨论。

在下文中，我们常使用应力分量的工程符号，即

应力变换

假设平面应力问题在x-y坐标系中的应力分量已知。现在我们希望求出一个新坐标系下的应力分量，该新坐标系由x轴和y轴旋转角度$\theta$得到。

如果斜平面的长度为$dl$，则与该平面垂直的、朝向x轴和y轴的单元边长分别为$dl\cos \theta$和$dl\sin \theta$。

设$t_x$和$t_y$为作用在该斜平面上应力向量的分量。那么，由沿x轴和y轴方向的力平衡可得 其中$h$为单元的厚度。化简后，得

如果我们注意到$𝐭$是作用在单位法向量为的平面上的应力向量，也可以得到同样的结果： 向量$t_x$和$t_y$在方向的分量为$t_x\cos \theta$和$t_y\sin \theta$。它们在y'方向（即斜平面上的剪切分量）的分量为$-t_x\sin \theta$和$t_y\cos \theta$。因此， 将我们得到的$t_x$和$t_y$的表达式代入上式，可得 由于与正交，将$\theta$替换为$\theta +\pi /2$代入的公式，便可得到应力。 且由于$\sin (\theta +\pi /2)=\cos \theta$和$\cos (\theta +\pi /2)=-\sin \theta$，我们得到 总结起来：

由于$${\sin }^2\theta =\frac{1}{2}(1-\cos 2\theta ),{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta ),$$ 我们可以将方程(5)写为 我们注意到，在和的公式中，第二项与第三项相同但符号相反。因此， 这意味着两个垂直平面上的正应力之和是不变量。也就是说，在任何新坐标系下，正应力之和都相同。

我们还注意到 因此，由微积分可知，当该平面上的剪应力为零 时，正应力达到最大值和最小值。 由上述方程给出的特定$\theta$值所确定的方向称为主方向，相应的正应力（即任何平面上正应力的最大值和最小值）称为主应力。

由于$\tan (2\theta +\pi )=\tan (2\theta )$，若${\theta }_p$是方程(9)的一个解，则另一个解为${\theta }_p+\pi /2$。因此，主方向是相互垂直的方向（或者说，没有剪应力的两个平面是相互垂直的）。

若想求出主应力，当$\tan 2\theta$由(9)式给出时，我们需先求出$\sin 2\theta$和$\cos 2\theta$，再将结果代入方程(6)。

因为$${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha },{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$ 我们有 将这些值代入(6)式，即得主应力（正应力的最大值和最小值）： 为求最大剪应力，需解方程 ：

将${\theta }_s$与主应力发生时的角度${\theta }_p$进行比较： 因此，我们看到tan 2θ_s是tan 2θ_p的负倒数，这意味着2θ_s与2θ_p正交。所以，最大剪应力方向与主应力方向相差45°。

代回剪应力变换方程，即得最大剪应力：

莫尔应力圆——二维

莫尔提出了一种图解法，用于表示任意斜平面上一点的应力状态。这种图解方法使我们能够

• 快速确定主应力（${\sigma }_1$、${\sigma }_2$）及其方向。
• 求出最大面内剪应力（${\tau }_{max}$）及其方向。
• 无需大量计算即可求出任意平面上的应力分量。

考察和的方程。我们通过从中减去平均正应力${\sigma }_{\text{avg}}={\displaystyle \frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}}$来分离三角函数项：

若将两式平方，可得：

将上述方程与以$R$为半径、以$(h,k)$为圆心的圆的方程：$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=R^2,$$ 相比较，我们意识到(14)式正是一个圆的方程，其圆心为$$(0,{\sigma }_{\text{avg}})=(0,\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2})$$ 半径为$$R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$

如何使用莫尔圆

圆画出后，任何角度下的所有可能应力状态均由圆周上的点表示。

• 主应力（σ₁ 和 σ₂）：
  • 这些是圆与水平σ轴的交点。在这些点上，剪应力为零。
  • σ₁（最大主应力）是最右侧的点：${\sigma }_1=C+R$。
  • σ₂（最小主应力）是最左侧的点：${\sigma }_2=C-R$。
• 最大面内剪应力（τ_max）：
  • 它由圆的最高点和最低点表示。
  • 其值等于半径：τ_max = R。
  • 最大剪应力点处的正应力为平均应力 σ_avg。
• 任意平面上的应力：
  • 要找出物理单元上从x面逆时针旋转角度θ的平面上的应力，必须在莫尔圆上从参考线CX逆时针旋转2θ。
  • 圆上该新点的坐标给出了新的应力状态（σ_x’，τ_x’y’）。

关键规则：物理应力单元上旋转θ对应于莫尔圆上沿相同方向旋转2θ。