相容方程

应变分量的协调性

之前，我们证明了应力张量在区域内不能任意变化。实际上，其变化受到牛顿第二定律的约束。现在的问题是：应变分量能否任意变化？答案是否定的。物体内部应变的变化存在一些限制。这些限制被称为协调方程。

对于小变形，应变分量与位移场 $𝐮$ 的关系由下式给出：$${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}).$$ 当位移场 $𝐮$ 已知时，应变分量可以很容易地从上述方程计算出来。然而，根据给定的应变场确定位移场的逆问题要复杂得多。

有六个独立的应变分量 $({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$ , ${ϵ}_{yz}$, ${ϵ}_{xz}$, ${ϵ}_{xy}$) 和只有三个位移分量。这意味着对于三个未知函数 $u_x,u_y,u_z$ 有六个方程。因此，如果函数 ${ϵ}_{ij}$ 是任意选择的，我们预计该方程组不会有单值解。

协调方程

为了确保一组应变分量对应于一个物理上可能的位移场，必须满足某些协调条件。这些条件是通过从应变-位移关系中消去位移分量 $u,v,w$ 推导出来的。

根据应变分量的定义，我们有：$${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},{ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},2{ϵ}_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$ 取适当的二阶导数，我们得到：$$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y^2},\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y\partial x^2},2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^2\partial y}+\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y^2\partial x}.$$

通过结合这些关系并认识到混合偏导数是相等的，我们得到：$$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}.}$$

这是应变分量必须满足的协调方程之一，以便存在连续且单值的位移场。

附加关系

通过对坐标 $x,y,z$ 进行循环置换，可以推导出另外两个相同类型的关系。

对三维应变-位移关系求导，得到如下表达式：$$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y\partial x},$$ 以及其他分量的类似关系。

结合这些关系并消去 $u,v,w$，我们得到：$$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}).}$$

通过对 $x,y,z$ 进行循环置换，我们得到另外三个这样的关系，在三维空间中总共有六个协调方程。

$$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial y^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial z^2}.$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}),$$

对于一个单连通区域¹（即没有孔洞或不连续性的材料体），协调方程是确保位移场存在且单值的必要且充分条件。

如果区域是多连通的（例如包含孔洞或空隙），则必须应用附加条件以确保整个物体内的协调性（参见以下参考文献）。

需要注意的是，当位移分量 $u,v,w$ 被视为主要未知量时，这些方程是不需要的——因为它们自动满足应变-位移关系。然而，当直接使用应变分量作为未知量时，必须强制执行协调方程，以保证所得的应变场对应于一个有效的变形。

由于应变分量描述了物体内点的相对位置，而刚体运动不会产生任何应变，因此位移分量只能确定到任意刚体运动的程度。换句话说，即使应变分量满足协调方程，位移场也不是唯一确定的。

参考文献

Fung, Y. C. (1965). 连续介质力学基础. Prentice-Hall.