应变变换

回顾一下， 𝝐 = 1 2 ( 𝐮 ∇ + ( 𝐮 ∇ ) T ) . 或 𝝐 = 1 2 ( [ u 1 u 2 u 3 ] [ ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 3 ] + [ ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 3 ] [ u 1 u 2 u 3 ] )

为了在新坐标系中表达应变分量，我们必须在新坐标系中表达位移 𝐮 和 ∇ 。即，

因此，要用旧坐标系中的应变分量表达 ，我们应该：

  • 用旧坐标系中的位移分量表达新坐标系中的位移分量
  • 用对旧坐标的微分表达对新坐标轴的微分。

位移的变换

位移是一个矢量量。因此，它在新坐标系中的分量 遵循矢量的变换： 或

其中 是新坐标系第 i 个单位矢量的第 k 个分量：

导数的变换

根据链式法则，有

旧坐标对新坐标的变化率是它们之间夹角的余弦：

因此，

我们可以将 (6) 写为

并且对于所有新坐标：

新坐标系中的梯度

结合 (1) 和 (6)，我们得到 或者，使用矩阵符号以及 (2) 和 (7)，我们可以写为

应变张量的变换法则

由于 𝝐 = 1 2 ( 𝐮 ∇ + ( 𝐮 ∇ ) T ) , 我们得出结论 这与应力的变换公式相同：

特殊情况：二维变换

在二维中， L = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ]

因此，

这表明，在二维问题中变换应变分量时，我们可以使用莫尔圆，与应力情况完全相同。

示例：一个受力物体的位移场由下式给出
u = 10 − 3 ( x + y ) 2  m , v = 10 − 3 ( y − z ) 2  m , w = − 10 − 3 x z  m

  1. 求点 P ( 0 , 1 , − 2 ) 处的应变张量。
  2. 计算以下两者之间直角的改变量
    𝐚 ^ = 1 9 ( 8 𝐢 ^ − 𝐣 ^ + 4 𝐤 ^ ) , 𝐛 ^ = 1 9 ( 4 𝐢 ^ + 4 𝐣 ^ − 7 𝐤 ^ )
解答

(a) 位移梯度张量为

在点 P ( 0 , 1 , − 2 ) 处求值：

∇ 𝐮 = 10 − 3 [ 2 2 0 0 6 − 6 2 0 0 ]

应变张量由下式给出 𝜺 = 1 2 ( ∇ 𝐮 + ( ∇ 𝐮 ) T ) 𝜺 = 10 − 3 2 ( [ 2 2 0 0 6 − 6 2 0 0 ] + [ 2 0 2 2 6 0 0 − 6 0 ] )

𝜺 = 10 − 3 [ 2 1 0 1 6 − 3 1 − 3 0 ]

(b) 我们考虑 ， 。两者都是单位矢量。

角度的改变量与工程剪应变有关：

为了计算 ，我们将 𝝐 旋转到基 中，其中

变换矩阵为

在这个旋转基中的应变张量为

因此，

Δ θ = 2 × 0.9877 × 10 − 3 = 1.9753 × 10 − 3