平衡问题的图解法

如果为一个处于平衡状态的力系绘制索线图，会发现不仅力多边形形成一个闭合的多边形，而且索线图的两端索线也将共线，从而形成一个闭合的索多边形，如图 1 所示。

因此可以说，平衡的图解条件是力多边形和索多边形都必须闭合。力多边形的闭合意味着 $\sum F = 0$ ，而索多边形的闭合意味着 $\sum M = 0$ 。

我们可以利用这两个图必须闭合这一事实来求得平衡问题的图解法解答，如下例所示。

例题。用图解法求如图 2 所示受载桁架在 $A$ 和 $B$ 处的支座反力。

解答。图 3 所示为该桁架的受力图，其中各力采用鲍氏记法（Bow’s Notation）进行标识。未知的力 $e a$ 、 $c d$ 和 $d e$ 按其正确的对应作用线示出；当然，它们的大小目前还无法按比例绘制。记法的安排应当使已知力排在前面，以便能够尽可能完整地构建图形。然后按比例绘制该图，并利用已知力构建力多边形和索多边形。

在图 4 中，我们展示了利用已知力所能绘制的尽可能多的力多边形和索多边形。按比例绘制的完整解答如图 5 所示。

从图 4 的力多边形中可以看出，可以直接从力多边形中求解其中一个未知力 $e a$ ，因为已知为了使力多边形闭合，两个力 $c d$ 和 de 必须位于通过 $c$ 的垂直线上，而力 $e a$ 必须位于通过 $a$ 的水平线上。这些线的交点确定了点 $e$ ，从而确定了力 $e a$ ，并允许我们在索多边形中绘制另一条索线 $e o$ 。此时力多边形已经闭合，但索多边形仍然是敞开的，因为缺少了连接图 5 中标有 $A$ 和 $B$ 两点的索线 $d o$ 。然而，为了达到平衡，这条索线必须存在，因此我们绘制 do，从而闭合了索多边形。现在我们可以在力多边形中确定点 $d$ ，因为通过反向推导，我们可以在力多边形中绘制与索多边形中的索线 do 平行的射线 do。在力多边形中得到点 $d$ 后，就可以直接给出力 $c d$ 和 $d e$ ，从而完成了求解。

按比例量出各力的值，我们得到：

为了验证我们的解答，让我们通过对桁架左端取矩，用解析法确定力 $c d$ ： $\begin{matrix} \sum M_{Δ} = 0 = (20) (c d) - (5) (2000) - (866) (15) + (500) (2.88) \\ c d = 1080 lb \end{matrix}$

6.7.1 习题

1。一根梁在两点处受支承，并承受三个平行力，如图所示。用图解法求两个支座反力。

答案

$1167 lb; 1333 lb$

2。一个由三个平行力组成的力系作用在如图所示支承的梁上。用图解法求两个支座反力。用解析法验证这些反力。

答案

200 lb（向下）；8200 lb（向上）

3。一个桁架承受三个力，如图所示。用图解法求支座反力。用解析法验证桁架右端垂直反力的值。

答案

2150 lb（右端）