剪力图与弯矩图的关系

载荷、剪力和弯矩之间的一般关系可以通过以下方式推导。考虑一根承受任意载荷的梁，该载荷由函数 $q(x)$ 给出，其中 $q$ 是分布载荷（单位：磅/英尺），可以以任何方式变化。图 1 显示了该梁长度为 $dx$ 的一部分的受力分析图。

根据平衡条件，我们有： 由第一个方程可得： 由第二个方程，忽略二阶微分 $(dx)(dx)$ 可得：

这些表达式给出了梁内载荷、剪力和弯矩之间的关系。第一个表达式表明，载荷图的纵坐标等于剪力图的斜率；而第二个表达式表明，剪力图的纵坐标等于弯矩图的斜率。利用第二个结论，一旦已知剪力图，就可以绘制出弯矩图。通过对上述第二个表达式进行积分，弯矩的值可以用剪力来表示： 这表明，梁上两点之间弯矩大小的差值等于这两点之间剪力图的面积。

在梁的设计中，人们通常最感兴趣的是求出最大弯矩的大小。该最大弯矩将发生在弯矩图斜率为零的点，因此也发生在剪力图为零的点。因此，梁上剪力图穿过零点的每一个点，都应该作为整根梁可能存在最大弯矩的点来进行检验。

例题。利用上面推导出的信息，求图 2 所示梁中的最大弯矩。

解。我们首先用前面描述的方法确定支座反力并绘制剪力图。关系式 $q={\displaystyle \frac{dV}{dx}}$ 告诉我们，在载荷均匀分布的地方，剪力图的斜率是常数；而在出现集中载荷的地方，剪力图将出现不连续。

剪力图在两点 $A$ 和 $B$ 处穿过零轴，其中一点必然对应整根梁的最大弯矩。$A$ 处的弯矩大小等于 $A$ 左侧剪力图的面积，而 $B$ 处的弯矩大小等于 $B$ 右侧剪力图的面积。这些面积为：

因此，最大弯矩是 $A$ 处的正弯矩，大小为 $6750\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$。

6.12.1 习题

1. 用作图法（利用索多边形）求下列梁的弯矩图，并校核梁中的最大弯矩值。

2. 利用本节例题的方法，绘制下图所示梁的弯矩图并求出最大弯矩。

3. 同上题，求下图所示梁的弯矩图和最大弯矩。

4. 同上题，求下图所示梁的弯矩图 and 最大弯矩。