平面图形的极惯性矩

定义面积对于垂直于该面积平面的直线的惯性矩也是很方便的。在图 1 中， $x y$ 轴位于该面积的平面内； $r$ 是从 $z$ 轴到面积微元 $d A$ 的距离。该面积的极惯性矩定义为：

图 1

我们也可以写成 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ，因此：因此，面积对于通过某一点的轴的极惯性矩等于该面积对于通过同一点且在该面积平面内的两个相互垂直的轴的惯性矩之和。

例 1. 求半径为 $r$ 的半球体积的形心位置（图 2）。

图 2

解答。我们知道形心位于半球的对称轴上。将对称轴设为 $y$ 轴，通过求出 $y_{c}$ 即可完全确定形心的位置。取平行于 $x z$ 平面的半球微元薄片，我们有：

例 2. 求三角形面积对于一条平行于底边且通过该面积形心的直线的惯性矩（图 3）。

图 3

解答。我们首先通过直接积分求出三角形面积对于底边的惯性矩。现在，利用平行轴移轴定理，我们有：

例 3. 求图 4 所示面积的形心。

图 4

解答。我们首先将图形划分为若干个较简单的图形，其中每个图形的形心距离都是已知的。在本例中，由于分块较多，最好将计算系统化并以表格形式呈现。这种表格形式有许多优点。它们非常易于检查，因为一眼就能看出表中每个数字的意义，而且将复杂的计算组织成表格形式，使得可以使用相对不熟练的计算人员来进行常规计算。

部分	面积 $A$ $({in}^{2})$	形心距离 $x (in)$	形心距离 $y (in)$	$(A) (x)$ ( ${in}^{3}$ )	$(A) (y)$ ( ${in}^{3}$ )
I	$27$	$\frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$	$\frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5$	$40.5$	$121.5$
II	$3$	$3 + \frac{1}{3} \cdot 2 = 3.67$	$6 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 7$	$11.0$	$21.0$
III	$4$	$3 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 4$	$4 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 5$	$16.0$	$20.0$
IV	$3$	$\frac{1}{2} (- 1) = - 0.5$	$\frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$	$- 1.5$	$4.5$
V	$\frac{π}{4} = 0.79$	$- \frac{4 \times 1}{3 π} = - 0.42$	$3 + \frac{4 \times 1}{3 π} = 3.42$	$- 0.3$	$2.7$
$\sum$	$37.8$			$65.7$	$169.7$

$x_{c} = \frac{65.7}{37.8} = 1.74; y_{c} = \frac{169.7}{37.8} = 4.49$

例 4. 求例 3中所示面积对于 $x$ 轴的惯性矩。

解答。将该面积划分为与前一问题中相同的微元。对于这些微元中的每一个，可以通过在附录中查找该微元的惯性矩公式，来计算其对于通过该微元形心且平行于 $x$ 轴的轴的惯性矩。然后可以使用移轴定理来求出每个微元对于 $x$ 轴的惯性矩，这些值的总和即为整个面积的惯性矩。这些计算可以很方便地整理成表格形式：

部分	$I_{c}$ $(in)$	$y_{c}$ $(in)$	$y_{c}^{2}$ $({in}^{2})$	$A$ $({in}^{2})$	$A y_{c}^{2}$ $({in}^{4})$	$I_{x} = I_{c} + A y_{c}^{2}$ $({in}^{4})$
I	182.2	4.5	20.3	27	548	730
II	1.5	7	49	3	147	149
III	1.33	5	25	4	100	101
IV	2.25	1.5	2.25	3	6.75	9
V	0.055	3.42	11.7	0.79	9.24	9
$\sum$					998

4.6.1 习题

1. (a) 证明：任意平面曲线绕其平面内一条不相交的轴旋转所生成的曲面面积，等于该曲线的长度乘以该曲线形心所移动的距离。*

证明：任意平面图形绕其平面内一条不相交的轴旋转所生成的旋转体体积，等于该图形的面积乘以该面积形心所移动的距离。¹

2. 求弯曲成四分之一圆弧形状的细线的重心。利用该结果，求球体的表面积。

3. 求正弦波半个周期下方图形面积的形心。

4. 求半径为 $r$ 、对应圆心角为 $α$ 的弓形的形心。

5. 证明：任何圆锥或棱锥体积的形心位于距顶点四分之三高处。

6. 证明对于图中所示的三角形： $x_{c} = \frac{l + c}{3}$

7. 一个杯子中装有部分水。证明：当杯子和水的共同重心位于水面时，该重心位置最低。

8. 求圆面积对于其一条直径的惯性矩。

9. 求矩形面积对于垂直于该面积且通过矩形形心的轴的极惯性矩。

10. 证明：面积对于任意轴的极惯性矩等于该面积对于形心轴的极惯性矩与该面积和两轴间距离平方之积的和。

11. 求图中阴影面积对于轴 $x x$ 的惯性矩。

答案

53.4 in $^{4}$

12. 求图中所示体积的形心。

答案

$x_{c} = 4.00, y_{c} = 2.84, z_{c} = 2.86$

13. V带轮的横截面尺寸如图所示。如果该带轮由重为 $0.283 lb$ 每立方英寸的钢制成，求该带轮的重量。

答案

154 lb

14. 求具有图中所示形状的均匀固体的重心。

答案

$x_{c} = 2.25, y_{c} = 1.35, z_{c} = 1.80$

15. 在一个圆锥上钻一个直径为 3 英寸的孔，如图所示。如果剩余体积的形心要位于距离圆锥底面为 $h$ 的地方，那么孔的深度 $h$ 应该是多少？

答案

$h = 2.8$ in.

16. 一种被称为球扁钢的结构型材的标准尺寸如图所示：

《结构铝手册》给出了该面积重心的如下位置： $x_{c} = 2.22 in$ .；以及 $y_{c} = 0.93 in$ .。请核对这些数值，忽略由圆角和倒角所代表的微小面积。
《结构铝手册》给出该面积对于 $x_{c}$ 轴的惯性矩为 $3.02 {in}^{4}$ 。请核对该数值。

这些“定理”由巴普斯（Pappus，公元 300 年）提出，后来由古尔丁（Guldinus，1635-1642 年）独立发现。↩︎

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