" * Let's double check "Curved Area" vs "Curved Surface".

上述考虑可以扩展到包括弯曲区域：

设 $AB$ 为一圆柱面的边缘视图，其垂直于纸面的长度为单位长度。我们希望求出由于流体作用在该表面一侧的力系的水平分量 $R_x$ 和垂直分量 $R_y$。

在图 1a 中，设想一个由 $AB$、水平面 $BC$ 以及三个垂直面所包围的流体微元。为了使该微元处于平衡状态，我们有： $$\begin{array}{c}\sum F_x=0=F_1-R_x\\ R_x=F_1\end{array}$$ 因此，水平分量的大小和位置将与作用在垂直面 $AC$ 上的力相同，并且可以按照前一节的方法进行计算。

为了求出垂直分量，我们设想该微元延伸到自由表面，如图 1b 所示。此时该微元顶部的力将为零，平衡条件为： $$\begin{array}{c}\sum F_y=0=R_y-\gamma V\\ R_y=W\end{array}$$ 因此，力的垂直分量在大小上等于该区域上方垂直液柱中所含流体的重量，并且通过该流体微元的重心。可以看出，对于任何类型的面积微元，都会得到相同的结果。

如果我们将上述原理应用于封闭区域（例如浸没物体的表面），我们将直接得出适用于漂浮物体的阿基米德原理。

考虑作用在浸没物体圆柱形微元上的力，如图 2 所示。

考虑在 $A$ 处的面积，将有一个作用在 $A$ 处的力 $F_2$，它等于液柱 $AC$ 中流体的重量。还有一个作用在 $B$ 处的向下力 $F_1$，它等于液柱 $BC$ 中流体的重量。因此，作用在微元上的净向上力为 $F_2-F_1$，它将等于体积 $dV$（即柱体 $AB$ 的体积）中所含流体的重量。作用在微元上的这个净向上力被称为浮力。如果我们现在将物体所有微元上的浮力相加，我们会发现作用在物体上的总浮力等于该物体所排开的流体的重量。