自由质点的虚位移原理

考虑一个可以自由向任何方向运动的质点，它在合力为零的一般力系作用下保持平衡。在图 1 中，示出了该力系中的一个力 $𝐅$ 及其三个直角分量。

现在我们设想给该质点一个任意的微小位移 $\delta 𝐬$。这种位移是任意的，意思是它可以是任何方向。

接下来，我们计算在位移 $\delta s$ 期间，力 $𝐅$ 所做的功 $\delta W$。该功 $\delta W$ 是 $𝐅$ 和 $\delta 𝐬$ 的标量积。 $$\delta W=𝐅\cdot \delta 𝐬.$$

对于力系中的所有力： $$\delta W=\sum F\cdot \delta 𝒔.$$

将其写为沿直角坐标系的分量形式，我们有： 其中 $R_x,R_y$ 和 $R_z$ 是该力系合力的直角分量。

如果我们考虑作用在质点上的力构成平衡力系的情况，我们有：$R_x=0;R_y=0;R_z=0$。因此，对于任意的 $\delta x,\delta y,\delta z$ 值，都有 $\delta W=0$。

接下来，我们检验逆命题成立的条件，即在何种条件下，陈述 $\delta W=0$ 是系统平衡的充分必要条件。可以看出，$\delta W=0$ 不足以保证平衡的唯一情况是其中一个位移分量为零。例如，如果 $$\delta x\ne 0;\delta y\ne 0;\delta z=0$$ 那么在存在力分量 $F_z$ 的情况下，$\delta W$ 仍可能为零。然而，如果在我们对位移 $\delta s$ 的定义中，要求 $\delta x,\delta y$ 和 $\delta z$ 均不为零（这正是我们用“任意”一词所暗示的），那么表达式 $\delta W=0$ 就成为了质点平衡的充分必要条件。

因此，我们将自由质点的虚位移定义为满足 $\delta x,\delta y$ 和 $\delta z$ 均不为零的任意微小位移。我们使用记号 $\delta 𝐬$ 而不是 $d𝐬$ 来表示该位移是任意的，并且可以取任何方向。

因此，虚位移原理¹指出，自由质点平衡的条件是，在质点的任何虚位移上所做的功应该等于零。 $$\delta W=\sum (F_x\delta x+F_y\delta y+F_z\delta z)=0$$ 量 $\delta W$ 称为系统的虚功，上述原理通常被称为“虚功原理”。