虚位移原理

总的来说，我相信我可以断言，在平衡科学中可能还会发现的所有一般原理，都不过是这同一个虚速度原理，只是从不同的角度来看，并且仅在表述形式上有所不同。——拉格朗日，《分析力学》（1788）。

在前面几页概述的静力学原理的发展中，关于该学科的基本要素，我们仅采用了几种可能观点中的一种。在考虑诸如图 1a 所示的两个物体的平衡问题时，我们强调了这样一个事实：所涉及的重要物理量是力的大小 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ ，以及力到支点的距离 $a$ 和 $b$ 。这些思想的发展始于阿基米德，并由瓦里农赋予其现代形式，最终在力对点之矩的概念中达到顶峰。在图 1 的问题中，力矩的概念将导出以下平衡方程： $(W_{1}) (a) = (W_{2}) (b)$ 。然而，伽利略和斯蒂文认识到，将注意力集中在另一个重要物理量上同样是合乎逻辑的。假设（图 1b）我们设想杠杆和重物系统倾斜了一个微小的角度，从而使 $W_{1}$ 上升了距离 $c$ ，并使 $W_{2}$ 下降了距离 $d$ 。由相似三角形可知 $a / c = b / d$ ；将其代入上述平衡方程，我们得到 $(W_{1}) (c) = (W_{2}) (d)$ 。现在，我们可以将力 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 以及重物移动的距离 $c$ 和 $d$ 视为该问题中的重要物理量。

就该问题的任何实际求解而言，方程的这第二种形式与先前的表述是等价的。然而，我们是以一种有些不同的方式来探讨这个问题的。在第一种情况下，我们平衡系统绕支点的力矩；在第二种情况下，我们研究系统在某种可能运动过程中系统各力所做的功。这第二种观点对力学问题的普遍适用性最初由约翰·伯努利于 1717 年指出，而这一虚位移原理被拉格朗日在其 《分析力学》 中作为力学科学的基础。

由于虚位移原理并没有给力学科学引入新的信息，因此我们无法通过使用它来解决那些用前面讨论的方法无法解决的问题。然而，对于某些类型的问题，该原理能直接导出特别简单的结果，正是由于这个原因，以及该原理是动力学中若干重要发展的起点的附加原因，我们在这里将对虚位移原理进行探讨。