干摩擦

考虑一个静止在平面上的滑块，如图 1 所示。我们假设接触面是干净且干燥的，并且不存在任何润滑物质。

如果我们对滑块施加一个非常小的力 $P$，经验告诉我们，在通常情况下滑块不会移动。这意味着在接触面上必定产生了一个反作用力 $F$，它恰好与施加的力 $P$ 平衡。这个力 $F$ 在物理上是可能的，因为接触面并非绝对光滑，并且由于微小的凹凸不平，可以产生一个具有平行于表面分量的反作用力。我们的经验还告诉我们，如果我们增加载荷 $P$，最终将达到一个使滑块移动的值，因为此时将无法再建立足够大小的摩擦力。在给定的一组条件下，可能建立的摩擦力的最大值称为极限摩擦力，而受该极限摩擦力作用的系统被称为处于临界运动状态，因为施加的力若再有任何增加都会引起运动。

这种极限摩擦力的大小已经通过实验针对大量不同种类的接触面以及各种接触面积和法向载荷条件进行了测定。

这些实验事实已融入干摩擦或库仑摩擦定律中，该定律首次由库仑完整地阐述。

1. 总摩擦力与接触面积的大小无关。
2. 总摩擦力与法向力成正比。
3. 对于低速滑动，总摩擦力与速度无关，且小于临界运动时的摩擦力。

这些定律通过以下定义方程进行解析总结： 其中 $F=$ 临界运动时或运动过程中平行于接触面的总摩擦力

$N=$ 接触面之间的总法向力

$\mu =$ 摩擦系数，对于给定的材料它是一个常数

干摩擦的实际机制非常复杂，因此上述定律应被视为近似值，其精度对于大多数工程应用来说已经足够。

如果上述方程中的 $F$ 值是临界运动时的极限摩擦力值，则 $\mu$ 称为静摩擦系数。需要特别注意的是，使用该静摩擦系数可以得到在给定法向载荷下两表面之间可能产生的最大摩擦力，而不一定代表实际存在的摩擦力，实际摩擦力可能小于这个最大可能极限。

下表列出了在各种条件下可能获得的静摩擦系数的一些数值。在这样的表格中只能指出一个数值范围，因为表面状况在这一过程中起着重要作用。需要强调的是，如果特定应用需要更精确地确定摩擦力，通常有必要在尽可能与实际应用相似的条件下，通过实验来测定静摩擦系数。

如果物体之间存在滑动运动，则使用动摩擦系数来计算摩擦力。然而，该动摩擦系数在很大程度上取决于速度、可能起润滑作用的物质的存在等因素，因此无法以表格的形式给出哪怕是近似的值。

一旦知道了静摩擦系数，由于干静摩擦力与法向力之间的关系已知，就可以确定接触面上的法向与总反作用力之间的夹角。该摩擦角与摩擦系数之间的关系如图 2 所示： $$\tan \varphi =\frac{F}{N}=\mu .$$ 该摩擦角决定了合反作用力的方向。

在静力学中，通常会遇到两类涉及干摩擦的问题。在第一类问题中，物理问题的条件之一是运动处于临界状态，需要求出力之间的关系。对于此类问题，已知存在最大可能的静摩擦力，因此摩擦力与法向力之间的关系直接由静摩擦系数给出。在另一类问题中，作用在系统上的力是给定的，需要知道摩擦力是否能维持系统的平衡。由于在这种情况下，小于最大值的摩擦力可能就足以维持平衡，因此我们无法确定摩擦力是否由法向力乘以静摩擦系数给出。在这种情况下，通常的方法是确定维持平衡所需的静摩擦系数。然后通过将计算出的系数与给定问题中可能达到的系数进行比较，就可以判断平衡是否可能实现。

例 1. 一个重为 $W$ 的滑块静止在斜面上（图 3）。滑块与斜面之间的静摩擦系数为 $\mu$。求滑块即将沿斜面下滑（临界运动）时的倾角 $\alpha$。

解答. 绘制受力分析图（图 4），并将坐标系取为平行和垂直于斜面，由平衡条件可得：

由于运动处于临界状态 $$F=\mu N$$ 从而 $$\frac{F}{N}=\tan \alpha =\mu$$ 或者，因为 $\mu =\tan \varphi$，其中 $\varphi =$ 摩擦角 $$\alpha =\varphi$$ 夹角 $\alpha$ 称为休止角。

例 2. 如图 5 所示，一个支架在垂直构件上滑动，支架上承受载荷 $P$。载荷应放置在距离支承面多远的距离 $x$，才能使运动处于临界状态？忽略支架的自重，并假设支架与支承面之间存在干摩擦，静摩擦系数等于 0.25。

解答. 绘制受力分析图（图 6）并写出平衡方程，我们有：

由于运动处于临界状态，我们还有： 因此： 通过利用摩擦角的概念，可以获得该问题的图解法。如果将反作用力显示在其正确的方向上，而不是作为两个分量，则力系将由三个非平行的共面力组成，如果它们要处于平衡状态，则它们必须共点（图 7）。

例 3. 滑块 $W_1$ 重 100 lb，滑块 $W_2$ 重 50 lb（图 8）。上滑块与下滑块之间的静摩擦系数为 0.35，下滑块与水平面之间的静摩擦系数为 0.1。如图所示，一个 20 lb 的水平力作用在上滑块上。求使下滑块保持平衡时电缆 $AB$ 中的拉力。

解答. 由于我们不知道上滑块是否处于平衡状态，或者该上滑块的运动是否处于临界状态，我们不能立即写出平衡方程。我们必须首先检查平衡是否可能，或者上滑块是否会移动。让我们计算恰好足以使上滑块保持平衡（即对应于临界运动）的静摩擦系数。可以看出，如果没有摩擦力，上滑块将沿下滑块向下移动，因此我们将产生向下的临界运动。

由于平衡所需的摩擦力小于实际存在的摩擦力，我们知道平衡是存在的。此外，运动并非处于临界状态，上述计算出的摩擦力值（32.7 lb）是实际存在的值，尽管它不是可能存在的最大值。

类似地，对于下滑块的分析，我们有如图 10 所示的受力分析图。下滑块的运动可能在任一方向上处于临界状态，而系统仍将处于平衡状态。因此，能够维持平衡的力 $T$ 将有一个取值范围。

假设运动即将向左（临界状态），考虑整个物体的受力分析图，我们有： 假设运动即将向右（临界状态），我们有： 因此，在 5 到 35 lb 之间的任何 $T$ 值都将使系统保持平衡。对于中间值，运动不会处于临界状态，摩擦力的大小不会是其最大可能值，而是维持平衡所需的值。

5.1.1 习题

2. 一块 2 in 厚的板坯将在两个直径为 24 in 的轧辊之间进行轧制。如果轧辊与热金属之间的动摩擦系数为 0.15，那么轧辊之间的最小间距 $a$ 是多少，才能使初次接触时轧辊施加在板坯上的力方向为将板坯拉入轧辊？

答案

1.73 in

3. 一根承受 1000 lb 重量的圆棒穿过一块板，并通过穿过圆棒上槽口的“开口销”进行支撑。假设销与棒之间、销与板之间以及棒与板之间的静摩擦系数均为 0.25，求该装置自锁的最大角度 $\alpha$，即载荷不会将销挤出槽口的最大角度。

答案

$\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{8}{15}\right)$

5. 图中示出了一种自由轮离合器。如果内构件逆时针旋转，滚子将被卡在倾斜表面之间，从而驱动外构件。如果内构件顺时针旋转，滚子将被拉开，不驱动外构件。每个滚子的情况大致如下图所示。

如果两个表面之间的夹角太大，如 (a) 所示，滚子将只是沿着下表面被推着走。如果夹角太小，如 (b) 所示，滚子将卡在两个表面之间，难以释放。如果淬火钢滚子与表面之间的静摩擦系数为 0.08，求可用于此类离合器的最大角度 $\alpha$。

答案

6. 一个重为 $W$ 的滑块静止在粗糙的水平面上，并承受一个与水平方向成 $\theta$ 角的力 $F$。证明当角度 $\theta$ 等于摩擦角时，使运动处于临界状态所需的力 $F$ 达到最小值。

8. 作用在抽屉一个把手上的力为 $P$。假设反作用力集中在点 $A$ 和 $B$，对于给定的静摩擦系数 $\mu$，求能够拉开抽屉的最大距离 a。忽略抽屉底部的摩擦力。

答案

$a={\displaystyle \frac{h}{2\mu }}$

10. 如图所示，载荷 $P$ 将通过一个由力 $F$ 作用的楔块系统来提升。如果所有接触面之间的静摩擦因数均为 0.25，求提升载荷和降低载荷时 $F$ 与 $P$ 之间的关系。该系统是否自锁？即，如果撤去力 $F$，载荷 $P$ 是否仍能被支撑？

答案

提升时，$F=0.348P$；自锁