向量的解析描述

利用直角分量来描述向量是一种便利的方法，正如我们在力向量的特定案例中已经看到的那样。关于直角坐标系的约定如图 1 所示。

单位向量 $𝐢, 𝐣, 𝐤$ 被定义为模为 1 且方向分别与 $x, y, z$ 坐标轴相同的向量。因此，沿其中一个坐标轴的向量分量可以通过给出该分量的大小以及相应的单位向量来表示。例如，在图 1 中，向量 $𝐚$ 的 $x$ 分量可以写为 $a_{x} 𝐢$ ，而向量 $𝐚$ 可以写为 $𝐚 = a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤$ 。

我们可以将两个向量的数量积写成如下形式：

$𝐚 = a_{x} 𝐢 + a_{y} 𝐣 + a_{z} 𝐤$ $𝐛 = b_{x} 𝐢 + b_{y} 𝐣 + b_{z} 𝐤$ 根据数量积的定义，我们得到单位向量之间的以下关系： $𝐢 \cdot 𝐢 = 𝐣 \cdot 𝐣 = 𝐤 \cdot 𝐤 = 1$ 因为在每种情况下，向量的模都为 1 且方向相同。此外： $𝐢 \cdot 𝐣 = 𝐣 \cdot 𝐤 = 𝐤 \cdot 𝐢 = 𝐢 \cdot 𝐤 = 𝐣 \cdot 𝐢 = 𝐤 \cdot 𝐣 = 0$ 因为各个集合中的两个向量都是互相垂直的。因此，点积为

$𝐚 \cdot 𝐛 = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$