评述：几何与场

37.1 讲座

37.1.1 按维度分类积分定理

积分定理涉及几何对象 $G$ 和场 $F$ 。积分通过斯托克斯定理将它们配对，形式为 $\int_{G} d F = \int_{d G} F$ 其中涉及 $G$ 的边界 $d G$ 和 $F$ 的外微分 $d F$ 。我们可以通过考察底层空间的维度 $n$ 和对象 $G$ 的维度 $m$ 来对这些定理进行分类。在维度 $n$ 中，有 $n$ 个定理：

37.1.2 梯度与线积分

线积分基本定理是关于梯度 $\nabla f$ 的定理。它告诉我们，如果 $C$ 是从 $A$ 到 $B$ 的曲线，且 $f$ 是一个函数（即一个 $0$ -形式），那么

定理 1. $\int_{C} \nabla f \cdot d r = f (B) - f (A)$ 。

在微积分中，我们将 $1$ -形式写为列向量场 $\nabla f$ 。它实际上是一个 $1$ -形式 $F = d f$ ，一个在每个点附着一个行向量的场。如果 $1$ -形式在处求值，得到，即矩阵乘积。然后我们在区间 $[a, b]$ 上积分该 $1$ -形式的拉回。正是从行向量到列向量的转换导致了点积。对于闭合曲线，线积分为零。由此也得出积分是路径无关的。

37.1.3 旋度与线积分：格林定理的联系

格林定理告诉我们，如果 $G \subset ℝ^{2}$ 是一个由曲线 $C$ 围成的区域，且 $G$ 在曲线左侧，那么

定理 2. $\iint_{G} curl (F) d x d y = \int_{C} F \cdot d r$ 。

在形式语言中， $F = P d x + Q d y$ 是一个 $1$ -形式，且是一个 $2$ -形式。我们将这个 $2$ -形式 $d F$ 写为 $Q_{x} - P_{y}$ 并将其视为标量函数，尽管这与 $0$ -形式（即标量函数）不同。如果在 $ℝ^{2}$ 中处处有 $curl (F) = 0$ ，那么 $F$ 是一个梯度场。

37.1.4 曲面与线积分

斯托克斯定理告诉我们，如果 $S$ 是一个具有边界 $C$ 的曲面，且定向使得 $S$ 在左侧， $F$ 是一个向量场，那么

定理 3. $\iint_{S} curl (F) \cdot d S = \int_{C} F \cdot d r$ 。

在一般框架中，场 $F = P d x + Q d y + R d z$ 是一个 $1$ -形式，而 $2$ -形式被写为列向量场 $curl (F) = [R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}]^{T} .$ 要理解通量积分，我们需要了解像 $d x d y$ 这样的双线性形式对向量对 $r_{u}$ 、 $r_{v}$ 的作用。对于 $d x d y$ ，我们有 $d x d y (r_{u}, r_{v}) = x_{u} y_{v} - y_{u} x_{v}$ 这是叉积 $r_{u} \times r_{v}$ 的第三个分量，其中 $r_{u} = [x_{u}, y_{u}, z_{u}]^{T}$ 。在 $S$ 上积分 $d F$ 等同于积分 $curl (F) \cdot r_{u} \times r_{v}$ 的点积。斯托克斯定理意味着 $F$ 的旋度的通量仅依赖于 $S$ 的边界。特别地，通过闭合曲面的旋度通量为零，因为边界为空。

37.1.5 高斯定理：源、汇与全局视角

高斯定理：如果曲面 $S$ 包围空间中的立体 $E$ ，定向向外，且 $F$ 是一个向量场，那么

定理 4. $∭_{E} div (F) d V = \iint_{S} F \cdot d S$ 。

高斯定理处理一个 $2$ -形式 $F = P d y d z + Q d z d x + R d x d y,$ 但由于 $2$ -形式有三个分量，我们可以将其写为向量场 $F = [P, Q, R]^{T}$ 。我们计算得到其中只有项 $P_{x} d x d y d z + Q_{y} d y d z d x + R_{z} d z d x d y = (P_{x} + Q_{y} + R_{z}) d x d y d z$ 保留下来，我们再次将其与标量函数 $div (F) = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$ 关联。在 $3$ 维立体上积分 $3$ -形式就是通常的三重积分。对于无散向量场 $F$ ，通过闭合曲面的通量为零。无散场也称为不可压缩或无源场。

37.2 评注

37.2.1 三重困境：张量类型在三维中的碰撞

我们看到了为什么三维情况起初看起来令人困惑。我们有三个看起来非常不同的定理。这种混淆在科学中很常见：我们将实际上不同的东西放在同一个桶里：只有在 $3$ 维中， $1$ -形式和 $2$ -形式才能被等同。实际上，混淆的更多：不仅 $1$ -形式和 $2$ -形式被等同，它们还被写为向量场，即 $T_{0}^{1}$ 张量场。从张量微积分的角度来看，我们等同了三个空间 $T_{0}^{1} (E) = E, T_{1}^{0} (E) = Λ^{1} (E) = E^{*}, 和 Λ^{2} (E) \subset T_{2}^{0} .$ 虽然我们仍然可以总是将向量场与 $1$ -形式等同，但在一般的非平坦空间中，这种等同将依赖于度量。在 $ℝ^{4}$ 中， $2$ -形式具有维度 $6$ ，不能再写为向量。但人们仍然这样做。电磁 $F$ 是 $ℝ^{4}$ 中的一个 $2$ -形式，我们将其写为一对时间相关的向量场：电场 $E$ 和磁场 $B$ 。

37.2.2 希尔伯特空间调和：几何与场的融合

几何对象和场惊人地相似。在几何对象上，边界运算 $d$ 满足 $d \circ d = 0$ 。在场中，导数运算 $d$ 满足 $d \circ d = 0$ 。“几何对象”和“场”都带有定向： $r_{u} \times r_{v} = - r_{v} \times r_{u}, d x d y = - d y d x .$ 运算 $d$ 和 $d$ 看起来不同，因为微积分处理的是光滑的东西，如曲线或曲面，导致广义函数。在量子微积分中，它们被加厚，并且 $d$ 、 $d$ 在没有极限的情况下定义。场和几何对象随后变得无法区分，成为希尔伯特空间中的元素。外微分 $d$ 有一个伴随算子 $d = d^{*}$ ，即边界算子。这是一种量子场论，其中 $d$ 产生而 $d^{*}$ 湮灭一个“粒子”。 $d^{2} = d^{2} = 0$ 是一种“泡利不相容”。

37.2.3 对偶形式与雅可比矩阵：流形与场的结合

我们可以进一步延伸：一个 $𝒎$ -流形 $S$ 是参数化 $r : G \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ 的像。雅可比矩阵 $d r$ 是一个对偶 $𝒎$ -形式，即 $m$ 个向量 $d r_{u_{1}}$ 到 $d r_{u_{m}}$ 的外积（可以想象为附着在 $r (u) \in S$ 上的 $m$ 个列向量）。如果我们取一个映射 $s : S \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ 并考察 $F = d s$ ，我们可以将其视为一个 $m$ -形式 $F$ （可以想象为附着在 $ℝ^{n}$ 中每个点 $x$ 上的 $m$ 个行向量）。映射 $s$ 定义了 $m \times n$ 的雅可比矩阵 $d s (x)$ ，而雅可比矩阵 $d r (u)$ 是 $n \times m$ 的矩阵。柯西-比内公式表明， $F = d s$ 通过 $r (G) = S$ 的通量是积分 $\int_{G} F = \int_{G} \det (d s (r (u)) d r (u)) d u = \int_{S} \det (d s (x) d r (s (x))) .$ 如果 $s (r (u)) = u$ ，那么这是一个几何泛函。因此：几何对象 $G$ 可以来自从空间 $A$ 到空间 $B$ 的映射，而场 $F$ 可以来自从 $B$ 到 $A$ 的映射。作用积分 $\int_{G} F$ 推广了波利亚科夫作用量 $\int_{G} \det (d r^{T} d r) = \int_{G} | d r |^{2},$ 这是一个 $F$ 和 $G$ 对偶的情况，即 $s (r (u)) = u$ 。

37.3 典型例题

例 1. 问题：计算向量场 $F (x, y, z) = [5 x^{4} + z y, 6 y^{5} + x z, 7 z^{6} + x y]$ 沿路径 $r (t) = [\sin (5 t), \sin (2 t), t^{2} / π^{2}]$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2 π$ 的线积分。
解：该场是一个梯度场 $d f$ ，其中 $f = x^{5} + y^{6} + z^{7} + x y z$ 。我们有 线积分基本定理给出 $\int_{C} \nabla f d r = f (B) - f (A) = 4^{7} .$

例 2. 问题：求向量场 $F (x, y) = [x^{4} + \sin (x) + y + 5 x y, 4 x + y^{3}]$ 沿心形线 $r (t) = (1 + \sin (t)) [\cos (t), \sin (t)]$ 的线积分，其中 $t$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2 π$ 。
解：我们使用格林定理。由于 $curl (F) = 3 - 5 x$ ，线积分是二重积分 $\iint_{G} (3 - 5 x) d x d y .$ 我们在极坐标中积分得到 $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + \sin (t)} (3 - 5 r \cos (t)) r d r d t$ 结果为 $9 π / 2$ 。可以通过对称性注意到 $\iint_{G} (- 5 x) d x d y = 0$ 来简化，因此积分等于 $3$ 乘以心形线的面积 $\int_{0}^{2 π} (1 + \sin (t))^{2} / 2 d t = 3 π / 2$ 。

例3 问题： 计算向量场 $F (x, y, z) = [x^{3} + x y, y, z]$ 沿连接点 $(0, 0, 0)$ 、 $(2, 0, 0)$ 、 $(2, 1, 0)$ 、 $(0, 1, 0)$ 的折线路径 $C$ 的线积分。
解：路径 $C$ 围成一个曲面 $S : r (u, v) = [u, v, 0]$ ，参数化区域为 $G = {(x, y) ∣ x \in [0, 2], y \in [0, 1]} .$ 根据斯托克斯定理，该线积分等于旋度 $curl (F) (x, y, z) = [0, 0, - x]$ 穿过曲面 $S$ 的通量。曲面 $S$ 的法向量为 $r_{u} \times r_{v} = [1, 0, 0] \times [0, 1, 0] = [0, 0, 1]$ 因此

例4 问题： 计算向量场 $F (x, y, z) = [- x, y, z^{2}]$ 穿过矩形盒子 $G = [0, 3] \times [- 1, 2] \times [1, 2] .$ 的边界 $S$ 的通量。解：根据高斯定理，该通量等于散度 $div (F) = 2 z$ 在盒子上的三重积分： $\int_{0}^{3} \int_{- 1}^{2} \int_{1}^{2} 2 z d z d y d x = (3 - 0) (2 - (- 1)) (4 - 1) = 27.$

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