表面积

26.1 引言

26.1.1 参数化曲面上的通量积分

我们已经在坐标变换的背景下，以及一般情况下，当 $R$ 是 $ℝ^{m}$ 的子集且 $S$ 是 $ℝ^{n}$ 的子集时，研究了映射 $r : R \to S$ 。我们了解到雅可比矩阵 $d r$ 可以量化畸变 $\sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ 。如果 $R$ 是 $ℝ^{2}$ 的子集，那么 $r$ 描述了一个 $2$ 维曲面。我们通常将 $R$ 中的点写为 $(u, v)$ ，但也可以使用其他变量。如果 $n = 3$ ，即我们处理的是三维空间中的曲面，那么畸变因子是 $| r_{u} \times r_{v} |$ ，表面积是二重积分 $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 。因此，这个主题是练习更多二重积分的绝佳机会。

**图 1.** 在时空中移动的圆产生一个二维曲面。该曲面的表面积在物理学中具有重要意义。该表面积即为**南部-后藤作用量**。

26.2 讲座

26.2.1 参数化曲面上标量场的积分

映射 $r : R \subset ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ 的像 $r (R) = S$ 是一个参数化曲面。它的表面积是多少？我们已经看到畸变因子现在是 $| d r | = \sqrt{det (g)} = | r_{u} \times r_{v} |,$ 其中 $g = d r^{T} d r$ 是曲面的第一基本形式。当然，使用 $| r_{u} \times r_{v} |$ 更方便，它与 $| d r |$ 相同。

定理 1. $S$ 的表面积 $\iint_{S} d S$ 为 $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 。

26.2.2 从一个曲面到另一个曲面的积分变换

更一般地，如果 $f : R \to ℝ$ 是一个描述诸如密度的函数，那么 $\iint_{R} f (r (u, v)) | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 是一个积分，缩写为 $\iint_{S} f d S$ ，称为标量曲面积分。例如，如果 $f$ 是曲面上的密度，那么这个 $\iint_{S} f d S$ 就是质量。再次强调，在这个积分中，曲面的方向无关紧要。畸变因子 $| d r |$ 总是非负的。最好将 $\iint_{S} f d S$ 视为对面积 $\iint_{S} d S$ 的推广。¹

26.2.3 低维特殊情况

以下是映射 $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ 最一般的积分变换公式，其中畸变因子为 $| d r | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ 。该公式也适用于 $m > n$ 的情况，此时 $det$ 是伪行列式。如果 $S = r (R)$ 是实体 $R$ 在 $C^{2}$ 映射 $r$ 下的像，且 $f : ℝ^{n} \to ℝ$ 是一个函数，那么所有代换公式之母是

定理 2. $\iint_{R} f (r (u)) | d r (u) | d u = \iint_{S} f (u) d u .$

证明。 证明与在二维变量变换情况中看到的相同。只是因为 $n$ 用于目标空间 $ℝ^{n}$ ，我们使用基本尺寸 $1 / N$ 。我们将区域分割成大小为 $1 / N$ 的立方体 $Q$ 与 $R \cap Q$ 的部分，并估计 $Vol (d r (Q))$ 和 $Vol (r (Q))$ 之间的差为 $C M_{N} / N^{2}$ ，导致总差有界于 $F C M_{N} / N^{2}$ ，其中 $F$ 是 $f$ 在 $R$ 上的最大值， $M_{n}$ 是 $f$ 的海涅-康托尔函数连续模。将所有项相加得到误差 $F C Vol (R) M_{N} + 2^{n} Vol (δ R) F / N \to 0,$ 其中 $δ R$ 是 $R$ 的边界。有一件新事情：我们需要理解为什么 $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ 是由雅可比矩阵 $A = d r$ 的列向量张成的平行六面体的体积。我们稍后将详细讨论行列式，但如果 $A$ 是行简化阶梯形，那么 $A^{T} A$ 是单位矩阵，行列式为 $1$ ，与体积一致。现在注意到，如果 $A$ 的一列被缩放 $λ$ 倍产生新矩阵 $B$ ，那么 $\det (B^{T} A) = λ \det (A^{T} A)$ 且 $\det (B^{T} B) = λ^{2} \det (A^{T} A)$ 。如果 $A$ 的两列交换导致新矩阵 $B$ ，那么 $\det (B^{T} A) = - \det (A^{T} A)$ 且 $\det (B^{T} B) = \det (A^{T} A)$ 。如果 $A$ 的一列加到另一列，这不会改变 $\det (B^{T} B)$ 。唯一影响 $| d r |$ 的行简化步骤是缩放。但这与体积的变化完全同步。 ◻

26.2.4 参数化在曲面积分计算中的应用

最后一个定理涵盖了我们在流形上积分标量函数时所见和所需的一切。在特殊情况 $n = m$ 下，它导出：

定理 3. $\iint_{R} | d r (u) | d u = Vol (S)$ 。

26.2.5 使用超球坐标的n维球体的体积和表面积

以下是重要的低维示例：

如果 $m = 1$ ， $n = 3$ ，那么是曲线 $C = r (I)$ 的弧长。
如果 $m = 2$ ， $n = 2$ ，那么 $\iint_{R} | d r | d u d v$ 是区域 $S = r (R)$ 的面积。
如果 $m = 2$ ， $n = 3$ ，那么 $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 是 $S = r (R)$ 的表面积。
如果 $m = 3$ ， $n = 3$ ，那么 $∭_{R} | d r | d u d v d w$ 是实体 $S = r (R)$ 的体积。

26.3 示例

示例 1. 在所有表面积计算的示例中，我们取一个参数化 $r (u, v) : R \to S$ ，然后使用畸变因子 $\sqrt{\det (d r^{T} d r)} = | r_{u} \times r_{v} |$ 。

**图 2.** 畸变因子 $| d r | = | g | = \sqrt{\det (g)} = \sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ 一般出现。对于 $m = 2$ ， $n = 3$ ，我们得到表面积 $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ 。

示例 2. 问题：求球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = L^{2}$ 的表面积。
解：参数化曲面 $r ([θ, ϕ]) = [L \sin (ϕ) \cos (θ), L \sin (ϕ) \sin (θ), L \cos (ϕ)] .$ 畸变因子为 $L^{2} \sin (ϕ)$ 。表面积为 $4 π L^{2}$ 。

示例 3. 问题：求在柱坐标下由 $z = g (θ)$ ， $a \leq z \leq b$ 给出的旋转曲面的表面积。
解：参数化曲面 $r ([θ, z]) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z] .$ 畸变因子为。作为一个例子，我们可以考虑旋转曲面 $x^{2} + y^{2} = 1 / z^{2}$ ， $| z |^{2} > 1$ 。该曲面所围实体的体积为 $π$ 。表面积为无穷大。

示例 4. 问题：求函数 $z = f (x, y)$ ， $(x, y) \in R$ 的图形的表面积。
解：参数化曲面为 $r ([x, y]) = [x, y, f (x, y)]$ 。畸变因子为 $| r_{x} \times r_{y} | = \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}} .$

示例 5. 问题：求 $x^{2} + z^{2} \leq 1$ ， $6 x + 3 y + 9 z = 12$ 的交集的表面积是多少？
解：该曲面是一个平面，同时也是 $x z$ -平面中 $R = {x^{2} + z^{2} \leq 1}$ 上的图形。最简单的参数化是 $r ([x, z]) = [x, (12 - 6 x - 9 z) / 3, z] = [x, 4 - 2 x - 3 z, z] .$ 它给出 $| r_{x} \times r_{z} | = | [- 2, - 1, - 3] | = \sqrt{14}$ 。表面积为 $\iint_{R} \sqrt{14} d x d y = \sqrt{14} Area (R) = \sqrt{14} π .$

示例 6. 以下超球坐标参数化 $ℝ^{4}$ 中的 $3$ 维球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ 。 $r ([ϕ, ψ, θ]) = [\cos (ϕ), \sin (ϕ) \cos (ψ), \sin (ϕ) \sin (ψ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (ψ) \sin (θ)]$ 其中 $θ \in [0, 2 π]$ ， $ϕ \in [0, π]$ ， $ψ \in [0, π]$ 。畸变因子为 $\sqrt{\det (d r^{T} d r)} = \sqrt{\sin^{4} (ϕ) \sin^{2} (ψ)}$ 因此超球面的表面积为 $2 π \int_{0}^{π} \int_{0}^{π} \sin^{2} (ϕ) \sin (ψ) d ϕ d ψ = 2 π^{2} .$

示例 7. 在 $n$ 维中， $ℝ^{n}$ 中 $n$ 维单位球 $B_{n}$ 的体积 $| B_{n} |$ 和 $ℝ^{n + 1}$ 中 $n$ 维单位球面 $S_{n}$ 的体积 $| S_{n} |$ 是多少？从 $| B_{0} | = 1$ 开始，因为 $B_{0}$ 是一个点， $| S_{0} | = 2$ ，因为 $S_{0}$ 由两个点组成。半径为 $ρ$ 的 $n$ 维球的体积为 $| B_{n} | ρ^{n}$ ，半径为 $ρ$ 的 $n$ 维球面的体积为 $| S_{n} | ρ^{n}$ 。因为 $| B_{n + 1} | = \int_{0}^{1} | S_{n} | ρ^{n} d ρ$ ，我们有 $| B_{n + 1} | = | S_{n} | / (n + 1)$ 。因为 $S_{n}$ 可以写成 $(n - 2)$ 维球面与 $S_{1}$ 的乘积的并集，导致 $| S_{n} | = 2 π \int_{0}^{π / 2} | S_{n - 2} | \cos (ϕ) d ϕ = 2 π | B_{n - 1} | .$ 我们现在知道了一切：只需从 $| B_{0} | = 1$ ， $| S_{0} | = 2$ ， $| B_{1} | = 2$ ， $| S_{1} | = 2 π$ 开始，以及

定理 4. $| B_{n} | = \frac{2 π}{n} | B_{n - 2} |$ ， $| S_{n} | = \frac{2 π}{n - 1} | S_{n - 2} |$ 。

$5$ 维球在所有单位球中具有最大体积 $5.26379 \dots$ 。 $6$ 维球面在所有单位球面中具有最大表面积 $33.0734 \dots$ 。 $30$ 维球的体积仅为 $0.00002 \dots$ 。例如， $30$ 维球面的表面积仅为 $0.0003$ 。与体积为 $1$ 、边界表面积为 $2 n$ 的 $𝒏$ 维单位立方体相比。高维球体和球面非常小！

例8. 若 $S$ 是圆柱面 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， $0 < z < 1$ ，用每个三角形小于 $1 / n \to 0$ 的三角剖分，其面积是否收敛于表面积 $A (S)$ ？不！一个反例是1880年的施瓦茨灯笼。将圆柱切成 $m$ 片，每片边缘标记 $n$ 个点，得到三角形如 $A = (1, 0, 0)$ ， $B = (\cos (4 π / n), \sin (4 π / n, 0))$ ， $C = (\cos (2 π / n), \sin (2 π / n), 1 / m)$ ，其面积为 $\sin (2 π / n) (1 / m) \sqrt{2 + 3 m^{2} - 4 m^{2} \cos (2 π / n) + m^{2} \cos (4 π / n)} / \sqrt{2} .$ 这 $n m$ 个三角形的面积约为 $\sim \sqrt{2 + 8 m^{2} π^{4} / n^{4}} / \sqrt{2}$ 。当 $m = n^{3}$ 时，三角剖分的面积发散。

例9. 三维球面是 $ℝ^{4}$ 中的 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ 。霍普夫参数化为 $r : R \subset ℝ^{3} \to S \subset ℝ^{4}$ ，即 $r ([ϕ, θ_{1}, θ_{2}]) = [\cos (ϕ) \cos (θ_{1}), \cos (ϕ) \sin (θ_{1}), \sin (ϕ) \cos (θ_{2}), \sin (ϕ) \sin (θ_{2})] .$ 我们计算 $| d r | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)} = \cos (ϕ) \sin (ϕ) = \sin (2 ϕ) / 2.$ 若固定 $ϕ$ ，我们看到一个二维环面。它们与 $ϕ \in [0, π / 2]$ 的并集构成霍普夫纤维化。现在我们可以计算三维球面的体积： $\int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \sin (2 ϕ) / 2 d ϕ d θ_{1} d θ_{2} = 2 π^{2} .$

练习

练习1. 求转动惯量 $∭_{E} (x^{2} + y^{2}) d V,$ 其中 $E = {x^{2} + y^{2} \leq z^{2}, | z |^{2} \leq 1}$ 是双锥体。

练习2. 计算三重积分 $∭_{E} x y d V$ 其中 $E$ 由抛物柱面 $y = 3 x^{2}$ 和 $x = 3 y^{2}$ 以及平面 $z = 0$ 和 $z = x + y$ 所界定。

练习3. 我们在电影《天才少女》中看到过计算 $e^{- x^{2}}$ 反常积分的问题。这里提供另一种方法：验证 $\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2} + z^{2})} d x d y d z = (\sqrt{π})^{3}$ 利用此结果，像《天才少女》中的计算那样求出 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ 。你可以在不知道后者等于 $\sqrt{π}$ 的情况下完成。

练习4. 求爱因斯坦-罗森桥的表面积 $r (u, v) = [3 v^{3}, v^{9} \cos (u), v^{9} \sin (u)]^{T},$ 其中 $0 \leq u \leq 2 π$ 且 $- 1 \leq v \leq$ 1。连接时空不同部分的隧道在科幻作品中经常出现。

练习5. 求由螺旋面给出的曲面的面积 $r (u, v) = [u \cos (v), u \sin (v), v]^{T}$ 其中 $0 \leq u \leq 1$ ， $0 \leq v \leq π$ 。

不幸的是，标量积分常被置于与微分形式（如体积形式）的积分相近的位置。后者具有不同的性质，并使用一种空间带有定向的积分理论。到目前为止，若将 $r (u, v)$ 替换为 $r (v, u)$ 会得到相同的结果（如面积或质量）。↩︎

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