离散世界

36.1 引言
- 36.1.1 场、力与量子世界
- 36.1.2 拉普拉斯特征值与量子演化
36.2 讲座
36.3 引力
- 36.3.1 离散引力与拉普拉斯算子
36.4 电磁学
- 36.4.1 含电流的离散麦克斯韦
36.5 量子力学
- 36.5.1 盖亚上的离散量子场
- 36.5.2 离散晶格上的时间演化
36.6 超越
- 36.6.1 从夸克到宇宙
练习
一些线性代数

36.1 引言

36.1.1 场、力与量子世界

麦克斯韦方程组 $d F = 0, d^{*} F = j$ 允许从电流 $j$ 得到电磁场 $F$ 。引力场通过高斯定律 $d^{*} F = ρ$ 由质量密度 $ρ$ 确定。利用 $- Δ = d^{*} d$ ，薛定谔方程 描述了量子粒子的运动。在具有导数 $d$ 的空间上，存在光、物质以及原子的周期系统。

**图 1.** **元素周期系统**反映了**氢原子矩阵** $L = K +$ $V = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ - \frac{e^{2}}{4 π ϵ_{0} ρ}$ 的特征值和特征向量的结构，其中 $Δ = divgrad$ ， $m$ 、 $e$ 是电子的质量和电荷， $ℏ$ 、 $ϵ_{0}$ 是常数。 $L$ 的特征值为 $\frac{ℏ^{2}}{2 a n^{2}}$ ，玻尔半径 $a = \frac{4 π ϵ_{0} ℏ^{2}}{m e^{2}}$ ，特征向量为 $ψ_{n l m} = R_{n l} (ρ) Y_{l}^{m} (θ, ϕ)$ 。

36.1.2 拉普拉斯特征值与量子演化

微积分中的一个重要对象是拉普拉斯算子 $Δ f = div (grad (f))$ ，即 $Δ f = f_{x x} + f_{y y} + f_{z z}$ 。对于图，它是基尔霍夫矩阵 $K = d^{*} d$ ，其中 $d^{*}$ 是 $d$ 的转置矩阵。矩阵 $K = d^{*} d$ 是一个具有非负特征值的方阵。用 $K e_{v}$ 构造每一列，其中 $e_{v}$ 是基向量。 $1$ -形式 $d e_{v}$ 为连接到 $v$ 的边赋予值 $- 1$ 。那么 $d^{*} d e_{v}$ 是顶点上的函数，它给顶点本身赋予顶点度数的负值，给每个连接的节点赋予值 $1$ 。薛定谔方程的解为 $u (t) = U (t) u (0) = e^{- i t K / ℏ h} u (0) .$ 你可以通过以下方式观察它：

36.2 讲座

36.2.1 图形式：梯度、旋度与离散斯托克斯

图 $G = (V, E)$ 上的一个 $0$ -形式 $f$ 是顶点集 $V$ 上的函数。我们也称之为标量函数。 $1$ -形式 是定向边集 $E$ 上的函数，满足 $F (a, b) = - F (b, a)$ 。非正式地说，如同连续情形，我们将 $1$ -形式视为向量场。 $0$ -形式 $f$ 的梯度 $F (a, b) = d f (a, b) = f (b) - f (a)$ 是一个 $1$ -形式 $F$ 。向量场 $F$ 的旋度是一个 $2$ -形式。它是三角形 $(a, b, c)$ 上的函数，由 $d F (a, b, c) = F (a, b) + F (b, c) + F (c, a)$ 给出，可视为沿三角形边界的线积分。在描述 $p > 0$ 的 $p$ -形式时，定向很重要。为了固定它，只需枚举顶点 $V$ ，然后选择边 $(a, b)$ 的定向（当 $a < b$ 时）或三角形 $(a, b, c)$ 的定向（当 $a < b < c$ 时）。离散斯托克斯定理 $\iint_{S} curl (F) \cdot d S = \int_{C} F \cdot d r$ 告诉我们，曲面 $S$ 上三角形中 $F$ 的旋度之和等于 $F$ 沿 $S$ 的边界 $C$ 的线积分。

**图 2.** 具有 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 和 $12$ 个四面体的三维图示例。 $2$ -形式 $F$ 的散度 $d F (x)$ 是所有值 $F (y)$ 的和，其中 $y \subset x$ 遍历 $x$ 的三角形面。所有散度的和是通过边界的 $F$ 的通量，因为在内部通量相互抵消。这就是立体图形的散度定理。

36.2.2 离散散度定理

四面体图 是四个节点彼此全部相连的集合。图 $G$ 上的一个 $3$ -形式 是 $G$ 中四面体子图 $x$ 上的函数。一个例子是 $2$ -形式 $𝑭$ 的 $𝒅 𝑭 (𝒙)$ （散度），定义为包围四面体 $x$ 的三角形 $y \subset x$ 的 $F (y)$ 值之和。如同连续情形，定向起作用。以下是对于由四面体 $x$ 构建的立体 $G$ 的离散散度定理，其边界曲面 $S$ 由三角形组成：

问题 A：验证 $\sum_{x \in G} div (F) (x) = \sum_{y \in S} F (y)$ 。

提示：通过对四面体数量进行归纳证明。首先验证如果 $G$ 是单个四面体，这就是散度的定义。然后观察添加一个新四面体时会发生什么。

36.2.3 离散旋度的零散度

我们还看到向量场 $F$ 的旋度的散度为零：我们有 $curl (F) = [R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}]$ 并且对 $R_{y} - Q_{z}$ 取 $x$ 导数得到 $R_{y x} - Q_{z x}$ ，对 $P_{z} - R_{x}$ 取 $y$ 导数得到 $P_{z y} - R_{x y}$ ，对 $Q_{x} - P_{y}$ 取 $z$ 导数得到 $Q_{x z} - P_{y z}$ 。将它们全部相加得到 $0$ 。在离散情形中甚至更简单。从图边上的 $1$ -形式 $F$ 开始。然后形成旋度，即三角形上的函数，然后将所有这些旋度相加。你验证：

问题 B：验证：对于每个 $F$ 和四面体 $x$ ，有 $div (curl (F)) (x) = 0$ 。

36.2.4 p-形式与离散斯托克斯

一般的斯托克斯定理并没有太大不同。 $G$ 中的一个 $𝒑$ -单形 是具有 $p + 1$ 个节点的完全子图。这意味着所有节点彼此相连。一个 $𝒑$ -形式 是 $G$ 中 $p$ -单形 $x$ 集合上的函数。如果两个元素交换，函数值会改变。例如，

36.2.5 离散外微分：反对称性与双重湮灭

$p$ -形式 $F$ 的外微分 是 $(p + 1)$ -形式 $d F (x_{0}, \dots, x_{p + 1}) = \sum_{j = 0}^{p + 1} (- 1)^{j} F (x_{0}, \dots, {\hat{x}}_{j}, \dots x_{p + 1})$

问题 C：一般地验证 $d d F = 0$ 。

36.2.6 图上的斯托克斯：分部积分

一般的斯托克斯定理指出，对于具有边界 $S$ 的 $m$ 维图 $G$ 和 $(m - 1)$ -形式 $F$ ，我们有

定理 1. $\sum_{x \in G} d F (x) = \sum_{y \in S} F (y)$ 。

36.3 引力

36.3.1 离散引力与拉普拉斯算子

牛顿方程 $\frac{d^{2}}{d t^{2}} x_{k} = - \sum_{j} G m_{j} / | x_{k} - x_{j} |^{2}$ 其中引力常数 $G$ ，描述了有限个质量点的运动，其位置为 $x_{k} (t) \in ℝ^{3}$ ，质量为 $m_{k}$ 。这些经典定律支配着太阳系中行星、星系中恒星或星系团中星系的运动。虽然相对论略微修改了这幅牛顿图景并产生了修正，例如在水星近日点进动中显现出来，但牛顿理论惊人地准确。高斯从 $div (F) = 4 π σ$ 推导出引力平方反比力 $F$ ，其中 $σ$ 是质量密度。虽然散度通常将 $2$ -形式映射到 $3$ -形式，但它是梯度 $d$ 的伴随算子 $d^{*}$ 。在 $ℝ^{3}$ 中它们是等价的。现在， $L = div \circ grad = d^{*} d : Λ^{0} \to Λ^{0}$ 被称为基尔霍夫拉普拉斯算子。因此，引力的高斯定律就是泊松方程 $L V = 4 π σ,$ 其中 $V$ 是引力势，一个 $0$ -形式。由于在 $0$ -形式上 $d^{*} = 0$ ，我们也可以写成 $L = d d^{*} + d^{*} d$ 。经典引力从质量密度 $σ$ 得到引力势 $V$ ，从而引力场作为梯度 $F = d V$ ：

$(d^{*} d + d d^{*}) V = 4 π σ$ 定义了引力 $1$ -形式 $F = d V$ 。

36.4 电磁学

36.4.1 含电流的离散麦克斯韦

麦克斯韦方程组 在四维时空 $ℝ^{4}$ 中书写时变得更加优雅。此时只剩下两个方程。第一个是 $d F = 0$ ，这从 $F = d A$ 和 $d^{2} = 0$ 可以明显看出。第二个是 $d^{*} F = 4 π j$ ，其中 $j$ 是 $4$ -电流，它同时编码了电荷密度 $σ$ 和电流 $i$ 。现在，在单连通区域中， $d F = 0$ 意味着 $F = d A$ ，其中 $A$ 是一个电磁势。如果 $d^{*} A = 0$ （这总是可以通过向 $A$ 添加一个梯度来实现），我们得到泊松方程 $L A = (d d^{*} + d^{*} d) A = 4 π j .$ 这完全编码了麦克斯韦方程组；我们也可以在离散网络中审视它。在一个具有电荷和电流密度 $j$ 的世界中，经典电磁学就是场 $F = d A$ ，其中 $A$ 由下式得到：

$(d^{*} d + d d^{*}) A = 4 π j$ 定义了电磁 $2$ -形式 $F = d A$ 。

36.5 量子力学

36.5.1 盖亚上的离散量子场

在这最后一次作业中，我们将处理一个小宇宙 $G$ 。我们称它为盖亚，大地之神。在希腊神话中，盖亚是天空之神埃忒尔和光明女神赫墨拉的女儿。我们只创建引力场、 $G$ 上的电磁场以及一些量子，因此这个世界中将存在物质和光。但其中的数学与我们生活的宇宙完全相同：经典引力场用高斯语言描述，我们已经看到这蕴含了牛顿万有引力定律。电磁场根据麦克斯韦公式表述，但直接在时空中进行。我们还将稍微探讨量子力学，因为拉普拉斯算子 $L$ 的特征值和特征向量在审视惠勒-德维特方程（时空中的定态薛定谔方程）时发挥作用。

$(d^{*} d + d d^{*}) F = λ F$ 定义了 $p$ -形式上的波函数 $F$ 。

36.5.2 离散格点上的时间演化

如引言所述，含时薛定谔方程也可以进行研究。对于图而言，它是一个常微分方程。

36.6 超越

36.6.1 从夸克到宇宙

剩下的就靠你了：还需要包括物质的费米子组分（夸克（构成介子和重子）以及轻子）和玻色子（光子、胶子、矢量玻色子和希格斯粒子），以及其他一些被称为标准模型的细节。不要抱怨作业，以前有一位 $22$ 年级的学生在不到 $7$ 天内解决了一个包含 $10^{222}$ 个节点的作业……

**图 3.** 希腊女神盖亚，见于罗马“和平祭坛”的浮雕雕塑。（图片由 Sarah E. Bond 博士提供。）

练习

练习 1. 给定图 (36.4b) 中的 $1$ -形式 $F$ ，求 $0$ -形式 $f (x) = d^{*} F (x) = \sum_{e, e \to x} F (e) .$ 验证 $\sum_{x \in V} d^{*} F (x) = 0$ 。（这个守恒律是散度定理的一个变体。（在连续统中，当 $2$ -形式和 $1$ -形式被等同， $3$ -形式与 $0$ -形式相等时，这个所谓的基尔霍夫定律对应于通常的散度定理）。）

练习 2.

给定图 (36.4a) 中的 $0$ -形式 $f$ ，求 $F = d f$ ，然后计算 $d^{*} F = d^{*} d f = L f$ 。
给定图 (36.4b) 中的 $1$ -形式 $F$ ，计算 $2$ -形式 $d F$ 。
给定图 (36.4c) 中的 $2$ -形式 $H$ ，求一个 $1$ -形式 $F$ 使得 $d F = H$ 。用经典术语来说，我们寻找一个向量场 $F$ ，使得 $curl (F)$ 是一个给定的标量场 $f$ （经典上，这可以通过求解 $Q_{x} - P_{y} = f$ 来完成，例如使用 $F = [0, \int_{0}^{x} f (t) d t]^{T}$ 。）

练习 3. 给定图 (36.4d) 中的 $0$ -形式 $f$ ，验证该 $f$ 满足 $K f = λ f$ ，其中 $λ$ 为某个常数。这被称为 $K$ 的一个特征值。

练习 4. 写出盖亚世界的 $4 \times 4$ 基尔霍夫矩阵 $K$ 。 $K$ 的特征值和特征向量是什么？

练习 5.

具有 $4$ 个元素的完全图是最小的 $3$ 维“世界”。求该图的基尔霍夫矩阵 $K$ 并计算其特征值和特征向量。你可以使用下面 Mathematica 代码的第一行，它计算另一个图的基尔霍夫矩阵及其薛定谔演化。
如果 $ψ$ 是 $K$ 的一个特征向量，满足 $K ψ = λ ψ$ 。验证 $ψ (t) = e^{- i t λ / ℏ} ψ$ 求解了薛定谔方程。使用本课程之前学过的公式解释为什么量子力学被称为“波动力学”。

**图 4.** a) $0$ -形式，b) $1$ -形式，c) $2$ -形式，d) 特征向量。

一些线性代数

36.6.2 盖亚的几何

在盖亚上， $0$ -形式空间是 $4$ 维的， $1$ -形式空间是 $5$ 维的， $2$ -形式空间是 $2$ 维的。

36.6.3 梯度、旋度和连通性

我们在左侧看到狄拉克矩阵 $D = d + d^{*}$ ，在右侧看到拉普拉斯算子 $L = D^{2} = d d^{*} + d^{*} d$ 。前 $4$ 列包含块 $d_{0} : Λ^{0} \to Λ^{1}$ ，即梯度；中间 $5$ 列的顶部块是 $d_{0}^{*}$ ，即散度。底部块是 $d_{1} : Λ_{1} \to Λ_{2}$ ，即旋度。最后 $2$ 列中的块是 $d_{1}^{*} : Λ^{2} \to Λ^{1}$ ，每个三角形影响 $3$ 条相邻边。数字 $b_{0}$ 是 $L_{0}$ 核的维数。它被称为第 $0$ 贝蒂数，用于计算 $G$ 的连通分量数量（我们没有多重宇宙）；数字 $b_{1}$ 是“空洞”的数量，这里没有空洞。盖亚是单连通的。

36.6.4 从梯度到基尔霍夫

梯度 $d$ 是一个将顶点上的函数映射到边上的函数的矩阵。它是一个 $| E | \times | V |$ 矩阵。在 Mathematica 中，你可以使用“Incidence matrix”得到 $d^{*}$ 。请注意，Mathematica 区分有向图和无向图，并且梯度是 $d$ 的转置。要计算基尔霍夫矩阵 $K$ ，你必须使用无向图。那么 $K = d^{*} d$ 。下面是一个验证 $K = d^{*} d = divgrad$ 的例子。

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