永动机

30.1 介绍

30.1.1 永动机：梦想与不可能

拥有一台能凭空产生能量的机器难道不好吗？人类几个世纪以来一直梦想着这一点。并没有数学证明表明这样的机器不可能存在。我们所知道的所有孤立物理过程都守恒能量，这是一个实验事实。¹ 在实验中，我们看到自然界的所有基本力都是梯度场。那么，例如，我们又是如何从风力中获取能量的呢？风能是由外部源驱动的，特别是加热地球表面不同部分的太阳能。太阳能来自核过程，主要是聚变过程。

30.1.2 机器为何失败：揭开谜底

构想出看似可行的机器，或者分析一台已建造的给定机器并找出它为何失败，是一项很有意思的智力运动。

**图 1.** 乌尔里希·冯·克拉纳赫（Ulrich von Kranach）于1664年设计的一台永动机是罗伯特·弗拉德（Robert Fludd）1618年水轮的变体。图片来自1747年的《绅士杂志》（Gentleman’s Magazine），其中指出发明家花了30年的时间才使该机器达到完美状态。密歇根大学档案馆。公有领域。

30.2 研讨会

30.2.1 水管机

我们的第一台机器是一个半装满水的圆形管道。在没有水的一侧，重力将一个木球向下移动。在有水的一侧，浮力将木球向上拉。阀门安装到位，使水保持在原位。

问题 A： 分析这台管道机器。你可以假设操作阀门消耗极少的能量，并且在打开其中一个阀门时，水保持在原位。

30.2.2 磁铁机

另一类机器使用磁铁。磁铁呈圆形排列，以产生一个圆形的非保守力场，在其中磁铁被向前推动。

**图 3.** 磁铁的排列方式使得磁铁总是被向前推动（磁铁的同极相斥，相同部分相吸）。

问题 B： 分析磁铁机。用真实的磁铁进行实验。

30.2.3 曲线积分分析

还有机械机器。这里有一个带重物的例子。

问题 C： 使用重力势 $f (x, y, z) = z$ ，通过曲线积分分析锤子机。

30.2.4 挑战重力：毛细效应

大家都知道，放入水中的海绵、纸张或植物会利用毛细效应将水吸上来。在狭窄的空间中，这种力可以战胜重力。

问题 D： 为什么“毛细提升机”不起作用？

30.2.5 永动机谬误

为什么没有“永动机”？并没有什么基本原理禁止它。我们当然可以制作一个能量守恒定律失效的世界的计算机模拟。但这就像“时光机”一样。如果这样的机器存在于我们的物理世界中，对于研究它的物理学家来说，将会潜伏着严重的危险。本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）在他1855年的著作《分析力学体系》（A system of analytic mechanics）中提到了“人择原理”：“这样一系列的运动将获得‘永动’的技术名称，其含义是指一个系统在没有将一部分动力以某种方式引出并用于某种工作的情况下，会不断地回到相同的位置并增加动力。这里所假设的固定力的构造，以及在其中可能实现的永动，也许并非与造物主的无限能力相冲突；但是，如果它被引入自然界，它将被证明会摧毁人类对力的精神起源以及高于物质的第一因之必要性的信仰，并且会使神圣恩慈的宏伟计划屈从于人类的意志和反复无常。”

问题 E： 你能用更现代的术语重新表述这个“人择原理”吗？在宏观物理学中能量守恒不成立的宇宙，其命运会如何？

30.2.6 埃舍尔的幻觉力

非保守场也可以通过视错觉产生，就像M.C. 埃舍尔（M.C. Escher）所做的那样。这种错觉暗示存在一个非保守的力场。你能弄清楚埃舍尔的画作是如何“工作”的吗？这是家庭作业的一部分。这是研讨会的最后一个可能任务：

问题 F： 在网上（例如 YouTube）寻找一些永动机。如果你发现了有趣的东西，与大家分享。为什么它不起作用？

问题 G： 最后，如果你有冒险精神，设计出一台真正可以运转的机器，从投资者或通过众筹获得一些种子资金，然后开始生产。

练习

练习 1. 力场 $F (x, y) = [- y / (x^{2} + y^{2}), x / (x^{2} + y^{2})]$ 产生一个非保守力。放置在涡流附近的物体将围绕它旋转。验证该场是一个梯度场 $F = \nabla f$ ，其中 $f = \arctan (y / x)$ 。绘制 $f$ 的等高线，取路径 $r (t) = [\cos (t), \sin (t)]$ 并验证对于所有 $t$ ，都有从而使得为什么这与基本定理不矛盾？

练习 2. 如果 $H (x, y)$ 是两个变量的函数，那么满足和的曲线 $r (t) =$ $[x (t), y (t)]$ 被称为哈密顿系统的解。函数 $H (x, y)$ 被称为系统的能量。验证 $d / d t H (x (t), y (t)) = 0$ ，这意味着能量守恒。

练习 3. 设计一个向量场 $F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)]$ ，使其具有以下性质：对于在 ${x^{2} + y^{2} > 1}$ 中绕洞 ${x^{2} + y^{2} \leq 1}$ 一圈的任何闭合曲线 $C : r (t)$ ，曲线积分是 $6 π$ 的倍数。绕一圈的曲线示例为 $r (t) = [2 \cos (t), 2 \sin (t)]$ ，其中 $0 \leq t \leq 2 π$ 。

练习 4. 热机是将热能转化为机械能的系统。我们在课堂上见过这样的机器。它是如何工作的？

练习 5. 解释埃舍尔瀑布幻觉。

极短的时间除外，在极短的时间范围内虚粒子可以出现和消失。↩︎

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