替代

23.1 引言

23.1.1 揭示第一基本形式

我们已经介绍了从 $r:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ 的函数的一般导数概念 $dr$。行列式 $|det(\sqrt{d{r}^{T}dr})|$ 被称为扭曲因子。在从 ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$ 的相同维数映射的情况下，扭曲因子就是 $|det(dr)|$，因为此时方阵 $d{r}^T$ 的行列式与 $dr$ 相同，且行列式是乘性的。第一基本形式 $g=d{r}^{T}dr$ 也称为度量张量。在广义相对论中它扮演重要角色。在开始之前，我们说明一下，我们将使用 $\mathrm{\Phi }:R\to S$ 作为坐标变换，而不是 $r:R\to S$，原因是 $r$ 将用于极坐标。

23.1.2 再谈扭曲因子与积分

它描述了一个距离被扭曲的空间：正是空间中的物质产生了坐标变换，从而改变了度量。这是如何发生的由复杂的偏微分方程——爱因斯坦方程描述。我们在这里再次审视扭曲因子。原因在于，当我们在其他坐标系下进行积分时，扭曲因子就会出现。我们将在这里学习如何在极坐标下积分或在球坐标下积分。

23.2 讲座

23.2.1 变量替换定理

如果 $$\mathrm{\Phi }:R\to S,\left[\begin{array}{l}u\\ v\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{l}x(u,v)\\ y(u,v)\end{array}\right]$$ 是一个坐标变换，那么扭曲因子定义为 $|d\mathrm{\Phi }|=|\det (d\mathrm{\Phi })|$，其中 变量替换定理在所有维度中都是相同的。在下面的证明中，我们假设 $\mathrm{\Phi }$ 是 $C^2$ 的。根据海涅-康托尔定理，我们知道存在 $M_n\to 0$ 使得 $$|\frac{d^2}{d{t}^2}\mathrm{\Phi }(u_0+tv,v_0+tw)|\le M_n$$ 对于 $\sqrt{v^2+w^2}\le 1/n$ 和所有 $(u_0,v_0)\in R$ 成立。¹

23.2.2 利用变量替换对圆盘积分

这里有一个例子：如果 $$\mathrm{\Phi }:R=[0,1]\times [0,2\pi ]\to S=\{x^2+y^2\le 1\}$$ 由 $\mathrm{\Phi }(r,\theta )=[r\cos (\theta ),r\sin (\theta ){]}^T$ 给出，那么 $d\mathrm{\Phi }(r,\theta )=r$。如果 $f(x,y)=x^2+y^2=r^2$，那么 $${\iint }_R{r}^{2}rdrd\theta ={\iint }_S(x^2+y^2)dxdy.$$ 第一个积分是 $2\pi /4$。

23.2.3 反转定向

设 $\mathrm{\Phi }:[0,1]\times [0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ 由 $\mathrm{\Phi }(x,y)=(y,x)$ 给出。现在 $\det (d\mathrm{\Phi })=-1$ 且 $|d\mathrm{\Phi }|=1$。虽然我们通常可以忽略关于定向的讨论，但这里很明显，到目前为止所考虑的积分，我们并不关心空间的定向。如果坐标变换改变了定向，所得的积分不会改变。

23.2.4 坐标变换与椭圆面积积分

链式法则确保组合两个坐标变换 $\mathrm{\Phi }$、$\mathrm{\Psi }$ 会得到一个新的坐标变换，满足 $$d(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi })(x)=d\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(x))d\mathrm{\Phi }(x).$$ 例如，如果 $\mathrm{\Psi }(x,y)=[ax,by{]}^T$ 且 $\mathrm{\Phi }(r,\theta )=[r\cos (\theta ),r\sin (\theta ){]}^T$ 变换到极坐标，那么 $\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(r,\theta ))=[ar\cos (\theta ),br\sin (\theta ){]}^T$。现在 $R=[0,1]\times [0,2\pi ]$ 的像是椭圆 $S=\{x^2/a^2+y^2/b^2\le 1\}$，椭圆的面积是 $$A={\iint }_{R}abrdrd\theta$$ 因为 $\det (d\mathrm{\Phi })=r$ 且 $\det (d\mathrm{\Psi })=ab$。结果是 $${\int }_0^1{\int }_0^{2\pi }abrd\theta dr=\pi ab.$$

23.2.5 通过参数化揭示曲面面积

预告：下周我们将研究更一般的情况，如参数化曲面 $r:R\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$，其中扭曲因子为 $$|dr|=\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}=|r_u\times r_v|$$ 曲面面积为 ${\iint }_R|r_u\times r_v|dudv={\iint }_{S}1dA$。

23.2.6 变量替换与代换

该定理推广了代换 如果 $\mathrm{\Phi }(c)=a$ 且 $\mathrm{\Phi }(d)=b$。我们通常坚持 $\mathrm{\Phi }$ 是单调递增的，并记 $u=\mathrm{\Phi }(x)$， 来进行计算，如 $${\int }_0^{\sqrt{\pi /2}}\sin (x^2)2xdx={\int }_0^{\pi /2}\sin (u)du,$$ 其中 $\mathrm{\Phi }(x)=x^2$。作为一种技巧，可以将公式扩展到 $\mathrm{\Phi }$ 可以递减的情况，此时 $[a,b]$ 区间变为负的 $[b,a]$ 区间，其中 。
例子：设 $\mathrm{\Phi }(x)=2-2x$，其 ，那么 $${\int }_{1/2}^1(2-2x{)}^2|(-2)|dx={\int }_0^1{x}^{2}dx.$$ 在单变量微积分中，也可以处理负号情况并计算 ${\int }_1^{1/2}(2-2x{)}^2(-2)dx$，如果 ${\int }_1^{1/2}=-{\int }_{1/2}^1$ 则可行，但这与定义的黎曼积分不兼容：我们使用“电子表格”求和，并不区分是从左到右还是从右到左累加函数值。

23.2.7 富比尼定理与积分次序交换

我们可以再次审视富比尼反例 $${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy={\int }_0^1{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos (2\theta )}{r}d\theta dr=0.$$ 我们不能交换积分次序，因为无法积分 ${\int }_0^{1}1/rdr$。在新坐标系中问题依然存在，甚至更加严重。

23.2.8 从链式法则到矩阵乘积

如果 $\mathrm{\Phi }:x\to Ax$ 和 $\mathrm{\Psi }:x\to Bx$ 是两个线性坐标变换，那么 $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }=BA$ 是矩阵乘积，链式法则给出 $|d(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi })|=|\det (AB)|$，这与乘积 $|d\mathrm{\Psi }||d\mathrm{\Phi }|=|\det (A)||\det (B)|$ 一致。我们可以直接验证柯西-比内公式 $\det (AB)=\det (A)\det (B)$。如果 那么 你可以验证行列式公式。

23.2.9 开放问题：多项式坐标变换的逆

这里有一个关于坐标变换的著名开放问题，称为雅可比猜想。它涉及多项式坐标变换，其中 $x(u,v)$ 和 $y(u,v)$ 是 $u$、$v$ 的多项式。

已知如果该猜想不成立，则存在一个反例，其具有整系数多项式且雅可比行列式为 $1$。该猜想至少自1939年以来一直悬而未决。一个行列式为 $1$ 且具有整系数多项式的坐标变换的例子是第16讲中的埃农映射。如果 $$\mathrm{\Phi }([u,v{]}^T)=[x,y{]}^T=[u^2-u^4-v,u{]}^T,$$ 那么 $${\mathrm{\Phi }}^{-1}([x,y{]}^T)=[y,y^2-y^4-x{]}^T.$$

23.3 例题

习题