曲线

7.1 引言

7.1.1 线性代数中的曲线

许多几何对象都可以赋予一个维度。这个数字告诉我们描述该对象需要多少个参数。点的维度为 $0$，线的维度为 $1$，平面的维度为 $2$。这在线性代数中得到了形式化。给定一个矩阵 $A$，在 $\mathrm{rref}(A)$ 中前导 $1$ 的个数就是 $A$ 的像的维度。自由变量的个数（在 $\mathrm{rref}(A)$ 中没有前导 $1$ 的列）就是 $A$ 的核的维度。例如，对于已经是行简化形式的 $A=[1,2,3]$，我们有一个前导 $1$ 和两个自由变量 $y$ 和 $z$。方程 $1x+2y+3z=0$ 描述了一个 $2$ 维对象，一个平面。如果给定 $y,z$，我们可以从方程中求出 $x$。列向量 $v=A^T$ 的像是由该向量张成的直线。这条直线垂直于该平面，并说明了线性代数的基本定理，即 $A$ 的核垂直于 $A^T$ 的像，或者等价地，$A^T$ 的核垂直于 $A$ 的像。

7.1.2 维度与曲线

曲线是维度为 $1$ 的对象。例如，由向量 $v$ 张成的直线可以写为点集 $r(t)=tv=[t,2t,3t{]}^T$。我们称此为直线的参数化。自由变量 $t$ 称为时间。它决定了我们在固定时间 $t$ 所处的位置。例如，在 $t=12$ 时，我们位于点 $(12,24,36)$，对应于向量 $[12,24,36{]}^T$。¹ 向量 $v$ 被解释为速度。它告诉我们在这条直线上移动的速度有多快。当然，将 $v$ 替换为 $3v$ 会得到同一条直线，但我们的移动速度会是原来的三倍，并且会以三倍的速度到达点 $(12,24,36)$。

7.1.3 空间中的曲线探索

如果速度可以改变方向和大小，我们就可以在更有趣的路径上行驶。基本框架是取三个连续函数 $x(t),y(t),z(t)$，并观察空间中的路径 $(x(t),y(t),z(t))$。我们将其写为向量记法 $r(t)=[x(t),y(t),z(t){]}^T$。现在，因为我们总是懒得写 $T$ 来表明我们使用的是列向量，我们就直接写为 $r(t)=[x(t),y(t),z(t)]$。大多数时候，我们假设这些函数是可微的，但乒乓球从桌上弹起的情况表明，非光滑的曲线在日常生活也可能很重要。曲线可能非常复杂。取一个乒乓球放入椭圆形容器中。它描绘的台球路径是混沌的。在本讲座中，我们研究由参数化给出的曲线，学习如何求导以获得速度或加速度。我们还学习如何积分。这使我们能够计算路径。例如，我们可以计算一个在重力场中下落的球在时间 $t$ 时的位置。

7.2 讲座

7.2.1 参数化曲线及其路径

给定 $n$ 个单变量 $t$ 的连续函数 $x_j(t)$，我们可以考察向量值函数 $r(t)={[x_1(t),\dots ,x_n(t)]}^T$。我们称之为参数化曲线。一个例子是 $r(t)=[3+2t,4+6t]$，这是一条经过点 $(3,4)$ 且包含向量 $[2,6]$ 的直线。² 如果 $t$ 在参数区间 $a\le t\le b$ 内，那么 $r$ 的像就是 $\{r(t)\mid a\le t\le b\}$，这定义了 ${ℝ}^n$ 中的一条曲线。曲线从点 $r(a)$ 开始，到点 $r(b)$ 结束。另一个重要的例子是圆 $r(t)=[\cos (t),\sin (t)]$，其中 $t$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 内。它的像是平面 ${ℝ}^2$ 中的一个圆。参数化 $r(t)$ 包含比曲线本身更多的信息：例如，在 $t\in [-1,1]$ 上定义的抛物线 $r(t)=[t,t^2]$ 与在 $t\in [-1,1]$ 上的曲线 $r(t)=[t^3,t^6]$ 相同，但在第二种参数化中，曲线以不同的速度被遍历。${ℝ}^3$ 中的曲线可以在我们的物理空间中欣赏到，例如 $r(t)=[x(t),y(t),z(t)]=[t\cos (t),t\sin (t),t]$，这是一条螺旋线。这条特殊的曲线包含在锥面 $x^2+y^2=z^2$ 中。

7.2.2 曲线上的速度与加速度

如果函数 $t\to x_j(t)$ 可微，我们就可以构造导数 虽然技术上这又是一条曲线，但我们把 看作附着在点 $r(t)$ 上的向量，并称 与 $r(t)$ 相切。速度的长度 称为 $r$ 的速率。如果函数 $x_j(t)$ 的高阶导数也存在，我们还可以构造二阶导数 ，称为加速度，或三阶导数 ，称为急动度。接下来是跃度 $r^{(4)}(t)$，扑动度 $r^{(5)}(t)$ 和摆动度 $r^{(6)}(t)$，以及 2016 年秋季在一次多变量考试中引入的哈佛度 $r^{(7)}(t)$。

7.2.3 微积分基本定理与曲线

给定一阶导函数 以及初始点 $r(0)$，我们可以借助微积分基本定理恢复函数 $r(t)$。由于牛顿定律指出，质量为 $m$ 的质点在依赖于位置和速度的力场 $F$ 作用下满足牛顿微分方程 ，以下结果很重要：

一个特殊情况是 为常数。一个特殊情况是自由落体情况。此时坐标函数是二次的。假设 ，且 ，$r(0)=[0,0,20]$，那么 $r(t)=[0,0,20-5t^2]$。如果你从 $20$ 米高处跳入泳池，你需要 $t=2$ 秒击中水面。

7.2.4 切向量、法向量与副法向量

给定一条速度 永不为零的曲线 $r(t)$，我们可以构造单位切向量 。如果 永不为零，我们可以接着构造法向量 。向量 $B=T\times N$ 称为副法向量。标量 称为该曲线的曲率。

7.2.5 曲率奇点与光滑性

即使 $r(t)$ 完全光滑，曲率也可能变得无穷大。让我们看一个例子 $r(t)=[t^2,t^3,0]$。那么 ， ，且 。曲率为 $(6/t)(4+9t^2{)}^{-3/2}$，在 $t=0$ 处有一个奇点。

7.2.6 凹性变化与法向量

即使 $r(t)$ 完全光滑且永不为零，法向量也可能以不连续的方式依赖于 $t$。例如：$r(t)=[t,t^3/3]$。现在 ，且 $T(t)=$ $[0,t^2]/\sqrt{1+t^4}$。我们看到 在第二个坐标中取不同的符号。归一化后，我们有 和 。在三次函数图像的拐点处，凹性从下凹变为上凹。这改变了法向量 $N$ 的方向。

7.2.7 附注：矩阵值曲线

我们此前只考察了参数化向量。如果一个矩阵的元素 $A_{ij}(t)$ 依赖于时间，我们就得到了一个矩阵值曲线 $A(t)$。这出现在微分方程、量子力学（随时间演化的算子）或者——最重要的——在电影中！一部电影正是一条矩阵值曲线。

7.2.8 附注：简单闭曲线

定义在 $t\in [0,2\pi ]$ 上的平面曲线 $r(t)=[x(t),y(t){]}^T$ 称为一条简单闭曲线，如果 $r(0)=r(2\pi )$ 且不存在 使得 $r(t)=r(s)$。对于光滑曲线，即前两阶导数存在，我们可以考察向量 的极角 $\alpha (t)$。将曲线的带符号曲率定义为 。我们有 $|\kappa (t)|=K(t)$。霍普夫环绕定理告诉我们 ${\int }_0^{2\pi }\kappa (t)dt=2\pi$。例如，在圆的情况下，$\kappa (t)=1$。

7.2.9 附注：恒速重参数化

我们可以验证，任何在 $[a,b]$ 上参数化且对所有 $t\in [a,b]$ 满足 的曲线 $r(t)$，都可以在 $[a,b]$ 上重新参数化为 $R(t)$，使得对所有 $t$ 都有 。

7.2.10 附注：连续曲线的复杂性

证明：我们寻找一个单调函数 $s(t)$ 使得 $r(s(t))$ 的导数的长度为 $1$。这意味着我们希望 。换句话说，寻找一个函数 $s(t)$ 使得 且 $s(a)=0$。这就是我们所说的微分方程。微分方程有一个普遍的存在性定理（稍后证明），它保证了存在唯一的解 $s(t)$。证明完毕。

这个结果非常直观。你可以沿着 $r(t)$ 所描绘的曲线，从 $r(a)$ 行驶到 $r(b)$，只需保持速度为 $1$。这就得到了你的新参数化。你的新时间区间将是 $[0,L]$，其中 $L$ 是弧长（你的行程长度）。我们将在下一课中讨论弧长的计算。

7.2.10 旁注：连续曲线的复杂性

连续曲线可能很复杂：如果你在显微镜下观察花粉粒子，它会沿着一条处处不可微的曲线无规则地运动，因为它不断受到空气分子的撞击而被弹来弹去。这就是布朗运动。还有皮亚诺曲线或希尔伯特曲线 $[0,1]\to [0,1{]}^2$ 或空间填充希尔伯特曲线 $r(t):[0,1]\to Q=[0,1{]}^3$，它们覆盖了立方体 $Q$ 的每一个点。这些曲线定义了一个从 $[0,1]$ 到 $[0,1{]}^3$ 的连续双射。（逆映射不连续。尽管如此，这个构造表明 $[0,1]$ 中的点与 $[0,1{]}^3$ 中的点一样多）。

7.3 示例

练习