斯托克斯定理

 

32.1 引言

32.1.1 斯托克斯定理

斯托克斯定理是数学中的一座高峰。在攀登这座山峰之前，你还没有真正活过。该定理最初是在物理背景下发展起来的，但它之所以重要还有其他原因。首先，它是一个许多多元概念汇聚的地方：它涉及曲线、曲面、点积和叉积、各种导数（如雅可比矩阵或梯度）、积分或坐标变换。如果你掌握了这个定理，你就掌握了这门课程的大部分内容。该定理也是科学中一种方法的原型：一个定理有助于解决那些原本无法解决的问题。我们将看到许多没有该定理就无法计算的积分。此外，就像登山一样，在如此重要的事情上登顶会带来一些满足感。这个定理也是美丽的，因此也是一门艺术。

图 1. 瑞士南部的马特洪峰。从赫恩利小屋（ 3262 米，向量、直线、平面、曲线、曲面）出发，到达索尔维避难所（ 4003 米，极值、拉格朗日、积分），最终登顶（ 4478 米，格林、斯托克斯和高斯）。图片来源：维基共享资源，CC BY-SA）。

32.1.2 斯托克斯的遗产：麦克斯韦方程组

证明该定理是乔治·斯托克斯给出的一个考试题目。当时在场的学生詹姆斯·克拉克·麦克斯韦后来用它来表述麦克斯韦方程组 d F = 0 , d ∗ F = j ，用于描述电磁场 F 和电荷-电流 j 。当时空 ℝ 4 被分割为空间和时间时，有 4 个方程。其中之一是 curl ⁡ ( E ) = − ∂ ∂ t B / c 。它解释了当转动导线 C 时，电势 ∫ C E d r 如何从磁场 B 的通量变化中产生，使我们能够从运动中产生电能。反过来，它又将电能转化为机械能。下次你使用电动机时，请想想斯托克斯定理！

32.2 讲座

32.2.1 揭示斯托克斯定理的力量：应用与美感

给定一个 C 1 曲面 S = r ( G ) 在 ℝ 3 中，使用参数化 r = [ x , y , z ] ，以及一个 C 1 向量场 F = [ P , Q , R ] ，我们可以构成通量积分 ∬ S F ⋅ d S = ∬ G F ( r ( u , v ) ) ⋅ ( r u × r v ) d u d v . 对于 F = [ P , Q , R ] ，旋度定义为 ∇ × F = [ R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ] . 斯托克斯定理告诉我们，如果 C = r ( I ) 是 S = r ( G ) 的边界，并且 I 的定向使得 G 位于 C 的左侧，那么

定理 1. ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S = ∫ C F ⋅ d r 。

证明。 关键在于以下“重要公式” curl ⁡ ( F ) ( r ( u , v ) ) ⋅ ( r u × r v ) = F u ⋅ r v − F v ⋅ r u . 这很简单，并在课堂上完成。现在在 u v -平面中定义场 F ~ ( u , v ) = [ P ~ , Q ~ ] = [ F ( r ( u , v ) ) ⋅ r u ( u , v ) , F ( r ( u , v ) ) ⋅ r v ( u , v ) ] 。 F ~ 的二维旋度是 Q ~ u − P ~ v = F u ⋅ r v − F v ⋅ r u 正如我们通过使用克莱罗定理 r u v = r v u 所看到的。斯托克斯定理现在是上次证明的格林定理的直接结果。1 ◻

图 2. 水轮测量旋度。边界 C 使得 S 在其“左侧”。裤子曲面说明了“配边”。下次你穿内裤时，绝对需要思考一下斯托克斯定理！

32.3 示例

示例 1. 问题： 计算 F ( x , y , z ) = [ 0 , 0 , 8 z 2 ] T 通过上半单位球面 S （向外定向）的通量。
解： 我们将曲面参数化为 r ( u , v ) = [ cos ⁡ ( u ) sin ⁡ ( v ) , sin ⁡ ( u ) sin ⁡ ( v ) , cos ⁡ ( v ) ] T . 因为 r u × r v = − sin ⁡ ( v ) r ，这个参数化具有错误的定向！尽管如此，我们继续计算，并在最后改变符号。我们有 F ( r ( u , v ) ) = [ 0 , 0 , 8 cos 2 ⁡ ( v ) ] T ，所以 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 − [ 0 , 0 , 8 cos 2 ⁡ ( v ) ] T ⋅ [ cos ⁡ ( u ) sin 2 ⁡ ( v ) , sin ⁡ ( u ) sin 2 ⁡ ( v ) , cos ⁡ ( v ) sin ⁡ ( v ) ] T d v d u 通量积分为 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 − 8 cos 3 ⁡ ( v ) sin ⁡ ( v ) d v d u 等于 2 π ⋅ 8 cos 4 ⁡ ( v ) / 4 | 0 π / 2 = − 4 π . 向外定向的通量为 + 4 π 。这里我们不能使用斯托克斯定理，因为我们处理的不是旋度的通量，而是 F 本身的通量。

示例 2. 问题： 如果 F = [ sin ⁡ ( sin ⁡ ( x ) ) + z 2 , e y + x 3 + y 2 , sin ⁡ ( y 2 ) + z 2 ] 且 C 是单位多边形 ( 0 , 0 , 0 ) → ( 1 , 0 , 0 ) → ( 1 , 1 , 0 ) → ( 0 , 1 , 0 ) → ( 0 , 0 , 0 ) ? 那么 ∫ C F ⋅ d r 的值是多少？
解： 使用斯托克斯定理。 F 的旋度是 [ 2 y cos ⁡ ( y 2 ) , 2 z , 3 x 2 ] 。曲面 S : r ( u , v ) = [ u , v , 0 ] 其中 0 ≤ u ≤ 1 且 0 ≤ v ≤ 1 以 C 为边界。斯托克斯定理允许我们改为计算 ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S 。由于 r u × r v = [ 0 , 0 , 1 ] ，通量积分为 ∫ 0 1 ∫ 0 1 3 u 2 d v d u = 1. 直接计算线积分会更痛苦。

示例 3. 问题： 计算 F ( x , y , z ) = [ 0 , 1 , 8 z 2 ] T 的旋度通过上半球面 S （向外定向）的通量。
解： 太好了，这里我们可以使用斯托克斯定理 ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S = ∫ C F ⋅ d r , 其中 C 是边界曲线，可以参数化为 r ( t ) = [ cos ⁡ ( t ) , sin ⁡ ( t ) , 0 ] T ，其中 0 ≤ t ≤ 2 π 。在深入计算线积分之前，最好检查一下向量场是否为梯度场。确实，我们看到 curl ⁡ ( F ) = [ 0 , 0 , 0 ] 。这意味着 F = ∇ f 对于某个势函数 f ，根据线积分基本定理，这意味着 ∫ C F ⋅ d r = 0 。但是等一下，如果 F 的旋度为零，我们难道不能直接看出旋度通过曲面的通量为零吗？是的，我们之前就可以看出：对于梯度场， F 的旋度通过曲面的通量总是零，原因很简单，因为这种场的旋度为零。

示例 4. 问题： F ( x , y , z ) = [ sin ⁡ ( x y z ) , z e cos ⁡ ( x + y ) , z x 5 + z 22 ] 的旋度通过下半椭球面 S （由 x 2 / 4 + y 2 / 9 + z 2 / 16 = 1 ， z < 0 给出）的通量是多少？
解： 根据斯托克斯定理，它是线积分 ∫ C F ⋅ d r 。通过边界 r ( t ) = [ 2 cos ⁡ ( t ) , 3 sin ⁡ ( t ) , 0 ] 。但在 x y -平面 z = 0 上，场 F 为零。结果为零。

示例 5. 问题： F 的旋度通过椭球面 x 2 / 4 + y 2 / 9 + z 2 / 16 = 1 的通量是多少？
解： 我们可以将椭球面切成两部分，得到两个带边界的曲面。上半部分 S + = { ( x , y , z ) ∈ S ,   z > 0 } 的边界是 C + : r ( t ) = [ 2 cos ⁡ ( t ) , 3 sin ⁡ ( t ) , 0 ] ，这与曲面的定向匹配。斯托克斯定理告诉我们 ∬ S + curl ⁡ ( F ) ⋅ d S = ∫ C + F ⋅ d r . 下半部分 S − = { ( x , y , z ) ∈ S ,   z < 0 } 的边界是 C − : r ( t ) = [ 2 cos ⁡ ( t ) , − 3 sin ⁡ ( t ) , 0 ] ，这与下半部分的定向匹配。斯托克斯定理告诉我们 ∬ S − curl ⁡ ( F ) ⋅ d S = ∫ C − F ⋅ d r . 合起来我们有 ∫ C − F ⋅ d r + ∫ C + F ⋅ d r = 0 因为线积分符号相反。结果为零。

32.4 评注

32.4.1 高维中的斯托克斯定理

重要公式（它“引入”了旋度）2的左边仅在三维中定义。但右边在 ℝ n 中也有意义。它是 tr ⁡ ( ( d F ) ∗ d r ) ，其中 ∗ 将 2 -标架旋转 90 度。对于 2 -曲面的斯托克斯定理在 ℝ n 中成立，如果 n ≥ 2 。对于 n = 2 ，使用 x ( u , v ) = u ， y ( u , v ) = v ，我们有恒等式 tr ⁡ ( ( d F ) ∗ d r ) = Q x − P y 这就是格林定理。斯托克斯定理具有一般结构 ，其中 δ F 是 F 的导数， δ G 是 G 的边界。

定理 2. 斯托克斯定理对于 ℝ n 中的场 F 和二维 S 成立，其中 n ≥ 2 。

32.4.2 积分定理：简化高维统计

为什么我们对 ℝ n 感兴趣，而不仅仅是 ℝ 3 ？一个例子是，二维曲面作为“路径”出现，这些路径是 11 维空间中移动的弦所描绘的。也许更重要的是，统计学家本质上是在高维空间中工作。处理 n 个数据点时，就是在 ℝ n 中工作。为什么你要关心像斯托克斯这样的定理在统计学中的应用？事实上，积分定理通常允许简化计算。正如我们在格林定理中看到的，当计算所有旋度的总和时，内部会发生抵消。积分定理“看到了这些抵消”，并允许绕过并忽略那些无关紧要的东西。

32.4.3 推广线积分和通量积分：超越叉积

线积分基本定理 ∫ a b tr ⁡ ( d f ( r ( t ) ) d r ( t ) ) d t = f ( r ( b ) ) − f ( r ( a ) ) 在 ℝ n 中也成立。通量积分 ∬ G tr ⁡ ( F ∗ ( r ( u , v ) ) d r ( u , v ) ) d u d v 是二维中线积分的类比。这样写，我们不需要叉积。也还不需要微分形式的语言。

32.4.4 斯托克斯定理、几何与最优化

斯托克斯处理的是“场”和“空间”。如果场本身就是空间，即如果 F ∗ = d r 会怎样？这很有意思。对于 m = 1 且 F = d r T ，那么 ∫ a b | d r | 2 d t 就是物理学中的作用量积分。一个普遍的莫培督原理保证，它等价于弧长 ∫ a b | d r | d t ，其意义是：最小化两点之间的弧长等价于最小化作用量积分（这更像是从第一点到第二点所消耗的能量）。现在，在二维情况下，我们有 ∬ G tr ⁡ ( d r T d r ) d u d v . 我们可以将其与 ∬ G det ⁡ ( d r T d r ) d u d v 进行比较，后者被称为南部-后藤作用量，它类似于表面积 ∬ G det ⁡ ( d r T d r ) d u d v 也称为波利亚科夫作用量。自然界倾向于最小化。自由粒子沿着最短路径运动，最小化弧长。莫培督指出，最小化路径长度 等价于最小化 ，这本质上是从 A 到 B 的积分动能或汽油消耗。为了最小化的目的，这也适用于二维作用量。在所有连接两条一维曲线的曲面中，最小化表面积 ∬ G | r u × r v | d u d v 等价于最小化 ∬ G | r u × r v | 2 d u d v 。同样在更高维度中，南部-后藤作用量和波利亚科夫作用量是等价的。

练习

练习 1. 使用斯托克斯定理求 ∫ C F ⋅ d r ，其中 F ( x , y , z ) = [ 12 x 2 y , 4 x 3 , 12 x y + e ( e z ) ] 且 C 是双曲抛物面 z = y 2 − x 2 与圆柱面 x 2 + y 2 = 1 的交线，方向为从上方看逆时针。

练习 2. 计算通量积分 ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S ，其中 F ( x , y , z ) = [ x e y 2 z 3 + 2 x y z e x 2 + z , x + z 2 e x 2 + z , y e x 2 + z + z e x ] T 且 S 是椭球面 x 2 + y 2 / 4 + ( z + 1 ) 2 = 2 上满足 z > 0 的部分，方向为法向量指向上方。

练习 3. 求线积分 ∫ C F d r ，其中 C 是 x z -平面中半径为 3 的圆，方向为从点 ( 0 , 1 , 0 ) 看向平面时的逆时针方向，且 F 是向量场 F ( x , y , z ) = [ 4 x 2 z + x 5 , cos ⁡ ( e y ) , − 4 x z 2 + sin ⁡ ( sin ⁡ ( z ) ) ] T . 使用一个以 C 为边界的方便曲面 S 。

练习 4. 求通量积分 ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S ，其中 F ( x , y , z ) = [ y + 2 cos ⁡ ( π y ) e 2 x + z 2 , x 2 cos ⁡ ( z π / 2 ) − π sin ⁡ ( π y ) e 2 x , 2 x z + ( z − 1 ) 22 ] T 且 S 是由 r ( s , t ) = [ ( 1 − s 1 / 3 ) cos ⁡ ( t ) − 4 s 2 , ( 1 − s 1 / 3 ) sin ⁡ ( t ) , 5 s ] T 参数化的曲面，其中 0 ≤ t ≤ 2 π ， 0 ≤ s ≤ 1 ，方向为法向量指向刺的外侧。

图 3. 问题 32.4 是一个棘手的问题！你绝对需要和别人讨论一下。

练习 5. 假设 S 是曲面 x 22 + y 8 + z 6 = 100 且 F = [ e e 22 z , 22 x 2 y z , x − y − sin ⁡ ( z x ) ] . 解释为什么 ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S = 0 。

附录：应用

32.4.5 单连通区域与保守场

区域 E 在 ℝ n 中被称为单连通，如果它是连通的，并且对于 E 中的每一个闭合回路 C ，都存在一个 C 在 G 内部的连续形变 C s ，使得 C 0 = C 且 C 1 ( t ) = P 是一个点。例如， C ( t ) = [ cos ⁡ ( t ) , sin ⁡ ( t ) , 0 ] 可以在 E = ℝ 3 中形变为一个点，形变为 C s ( t ) = [ ( 1 − s ) cos ⁡ ( t ) , ( 1 − s ) sin ⁡ ( t ) , 0 ] 使得对所有 t 有 C 1 ( t ) = P = [ 0 , 0 , 0 ] 。每个欧几里得空间 ℝ n 都是单连通的。区域 G = { x 2 + y 2 > 0 } ⊂ ℝ 3 不是单连通的，因为绕 z -轴缠绕的圆 C : r ( t ) = [ cos ⁡ ( t ) , sin ⁡ ( t ) , 0 ] 不能在 G 内部收缩成一个点。区域 G = { x 2 + y 2 + z 2 > 0 } ⊂ ℝ 3 是单连通的，但 ℝ 2 中的 G = { x 2 + y 2 > 0 } 不是。请记住，如果 curl ⁡ ( F ) = 0 处处成立，则称 F 为无旋场。

定理 3. 如果 F 在单连通区域 E 上无旋，则 F = ∇ f 在 E 中成立。

证明。 由于 E 是单连通的且 curl ⁡ ( F ) = 0 ，每个闭合回路 C 都可以被一个以 C 为边界的曲面 S = ⋃ 0 ≤ s ≤ 1 C s 所填充。斯托克斯定理给出 ∫ S F ⋅ d r = ∬ S curl ⁡ ( F ) ⋅ d S = 0. 闭合回路性质意味着路径无关性。可以通过在 E 中固定一个基点 p ，然后对任意其他点 x 定义一条从 p 到 x 的路径 C p x 来获得势函数 f 。势函数 f 于是定义为 f ( x ) = ∫ C p x F ⋅ d r 。 ◻

32.4.6 非单连通区域与保守场

场 F ( x , y , z ) = [ − y / ( x 2 + y 2 ) , x / ( x 2 + y 2 ) , 0 ] 在除 z -轴外的所有地方都有定义。定义 F 的区域 E 不是单连通的。不存在全局函数 f 作为 F 的势函数。

32.4.7 拓扑学中的单连通性

“单连通性”的概念在拓扑学中很重要。第一个被解决的千禧年问题——庞加莱猜想，现在已成为一个定理。它指出，一个单连通的 3 维流形在拓扑上等价于 3 维球面 { x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 } ⊂ ℝ 4 . 在二维情况下，这个结果早已为人所知，因为 2 维连通流形的结构是已知的。

电磁学

32.4.8 麦克斯韦-法拉第与斯托克斯：从磁生电

电磁学中的麦克斯韦-法拉第方程将电场 E 和磁场 B 与偏微分方程 curl ⁡ ( E ) = − d d t B 联系起来。给定一个曲面 S ，通量积分 ∬ S B ⋅ d S 被称为 B 穿过该曲面的磁通量。如果我们对麦克斯韦-法拉第方程进行积分，我们会看到 ∬ S curl ⁡ ( E ) ⋅ d S 等于磁通量变化率的负值 − d d t ∬ S B ⋅ d S 。斯托克斯定理现在保证 ∬ S curl ⁡ ( E ) ⋅ d S = ∫ C E ⋅ d r 是电场沿边界的线积分。但这正是电势或电压。我们看到：

我们可以通过改变磁通量来产生电势。

32.4.9 通量变化与发电

改变磁通量可以通过多种方式实现。我们可以通过使用交流电来产生变化的磁场。这就是变压器的工作原理。另一种改变通量的方法是在固定磁场中旋转导线。这就是发电机的原理：

图 4. 使用光线追踪软件 Povray 实现的发电机。通过在固定磁场中移动导线来产生电流。

32.4.10 斯托克斯定理与偶极子通量

向量场 A ( x , y , z ) = [ − y , x , 0 ] ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 被称为磁场 B = curl ⁡ ( A ) 的矢势。图片展示了这个磁偶极场 B 的一些流线。
问题： 求 B 穿过下半球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ， z ≤ 0 （方向向下）的通量。
解： 由于我们要求的是向量场 A 的旋度的积分，我们使用斯托克斯定理，并沿边界曲线 r ( t ) = [ cos ⁡ ( t ) , − sin ⁡ ( t ) , 0 ] 对 A ( r ( t ) ) 进行积分。首先，我们有 A ( r ( t ) ) = [ sin ⁡ ( t ) , cos ⁡ ( t ) , 0 ] 。速度为 。积分为 ∫ 0 2 π − 1 d t = − 2 π 。

图 5. 磁场 B 穿过一个曲面的通量可以通过计算矢势 A 的线积分，利用斯托克斯定理求得。

32.4.11 E 和 B：麦克斯韦方程组简述

以下是关于电场 E 和磁场 B 的所有四个神奇的麦克斯韦方程，它们与电荷密度 σ 和电流 j 相关。常数 c 是光速。（通过使用合适的坐标，可以假设 c = 1 。） div ⁡ ( E ) = 4 π σ , div ⁡ ( B ) = 0 , c ⋅ curl ⁡ ( E ) = − B t , c ⋅ curl ⁡ ( B ) = E t + 4 π j .

流体动力学

32.4.12 亥姆霍兹定理

如果 F 是流体速度场， C 是一条闭合曲线，那么 ∫ C F ⋅ d r 被称为 F 沿 C 的环量。 F 的旋度被称为 F 的涡量。涡线是 curl ⁡ ( F ) 的一条流线。给定一条曲线 C ，我们可以让 C 上的每一点沿着涡量场流动。这就产生了一个涡管 S 。涡量穿过曲面 S 的通量是 F 穿过 S 的涡旋强度。斯托克斯定理蕴含了亥姆霍兹定理。

定理 4. 如果 C s 沿着 F 流动，那么 ∫ C s F ⋅ d r 保持不变。

证明。 设 C 是一条闭合曲线， C s ( t ) 是使用形变参数 s 使其流动后的曲线。该形变产生一个管状曲面 S = ⋃ s = 0 t C s ，其边界为 C 和 C t 。由于 F 的旋度始终与曲面 S 相切，因此 F 的旋度穿过 S 的通量为零。斯托克斯定理蕴含 ∫ C F ⋅ d r − ∫ C s F ⋅ d r = 0. 负号是因为如果曲面要保持在其左侧， C s 的方向与 C 的方向不同。 ◻

图 6. 亥姆霍兹定理保证沿通量管的环量是常数。这是斯托克斯定理的直接应用：因为 F 的旋度与管相切，所以没有通量穿过管。

复分析

32.4.13 复格林定理与解析魔法

格林定理的一个应用是在复平面 ℂ 上进行积分时得到的。给定一个函数 f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) 从 ℂ → ℂ 以及一条由 r ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) 参数化的闭合路径 C 在 ℂ 中，定义 复积分 这等于 这是两个线积分。实部是 F = [ u , − v ] ，虚部是 F = [ v , u ] 。假设 C 包围了一个区域 G ，那么格林定理告诉我们第一个积分是 ∬ G ( − v x − u y ) d x d y ，第二个积分是 ∬ G ( u x − v y ) d x d y 。现在对于像多项式这样的良好函数 f ，柯西-黎曼微分方程成立，因此这些线积分为零。因此我们有：

定理 5. 如果 f 是一个多项式且 C 是一条闭合回路，则 ∫ C f ( z ) d z = 0 。

  1. 数学家们说：“我们沿着参数化将场从 ℝ 3 拉回到 ℝ 2 ”。↩︎
  2. 我在2009年从Andrew Cotton-Clay那里学到了这个“重要公式”：http://www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_09/exhibits/stokesgreen↩︎