数字魔法

18.1 引言

18.1.1 哥德巴赫的挑战

数学中最著名的未解决问题之一是哥德巴赫猜想：

每个大于 $2$ 的偶数都是两个素数之和。

令 $g (n)$ 表示将 $n$ 写成两个素数之和的方式数。例如 $g (5) = 2$ ，因为 $5 = 2 + 3 = 3 + 2$ ；而 $g (6) = 1$ ，因为 $6 = 3 + 3$ 。

**图1.** 哥德巴赫彗星以及推测的下界和上界，其形式为 $n / \log (n)^{2}$ 、 $C n / \log (n)^{2}$ 。

18.1.2 哥德巴赫猜想：用Mathematica可视化

以下是绘制彗星图（即函数 $g$ 的图像）的Mathematica代码。

18.1.3 用微积分破解哥德巴赫猜想？

这为什么引人注目？它表明，通过定义一个函数 $f$ ，可以很好地利用微积分来计算数值 $f (n)$ 。利用泰勒定理，我们可以计算出 $g (n)$ 的各项。哥德巴赫猜想等价于 $对所有均非零。$ 我们真正需要的只是掌握函数 $f$ 。不幸的是，还没有人知道如何用已知函数写出函数 $f$ 。但并非完全没有希望，也许存在一个修正形式 $f (x) = \sum_{p 素数} a_{p} x^{p}$ 其中 $a_{p}$ 为正数，使得 $f (x)$ 可以用已知函数表示。那么，如果 $g (x) = f (x)^{2}$ 具有正的偶数阶导数，哥德巴赫猜想就会成立。

18.2 研讨会

18.2.1 微积分技巧：超越计算

在本次研讨会中，我们将看到微积分如何帮助有效计算，并希望深入了解一些更具数论性质的主题。例如，要求 $10$ 的立方根，我们有 $10^{1 / 3} \sim 8^{1 / 3} + \frac{2}{3 \cdot 8^{2 / 3}} = 2 + \frac{2}{12} = 2.1666 \dots$ 实际值为 $2.15443$ 。我们也可以使用线性化来求精确根。

问题A：利用在 $x = 1000000$ 处的线性近似求 $(1030301)^{1 / 3}$ 。

18.2.2 牛顿求根法：一个强大的工具

我们在课堂上未能提及求根的牛顿法。这是一种简单而有效的迭代方法。我们也可以用它来求根。例如，要求 $9$ 的立方根，我们从初始近似值 $2$ 开始，然后引入函数 $f (x) = x^{3} - 9$ ，我们的目标是求其根，接着应用牛顿步我们有，因此 $T (x) = x - (x^{3} - 9) / (3 x^{2})$ 。得到 $T (2) = 25 / 12 = 2.08333$ 。已经非常接近 $9^{1 / 3} = 2.08008$ 。

18.2.3 牛顿法转向复数

在复平面上应用牛顿法有一个有趣的故事。函数 $f (x) = x^{3} - 9$ 在复平面上恰好有 $3$ 个根。它们是 $9^{1 / 3}$ 、 $9^{1 / 3} e^{i 2 π / 3}$ 和 $9^{1 / 3} e^{i 4 π / 3}$ 。验证这三个数满足 $f (x) = 0$ ！在复数域研究牛顿法实际上早于曼德勃罗集的故事。人们可能会想，如果给定初始条件应用牛顿法会发生什么。解最终会落在三个根中的一个，但是哪一个呢？绘制出来时，我们看到了牛顿分形。以下是绘制牛顿分形的方法。¹

18.2.4 揭秘几何级数

在考试中，你已经证明了 $1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n - 1} = (3^{n} - 1) / 2$ 。这是几何级数公式的一个特例 $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} .$ 当然，我们也可以用归纳法证明这个公式。但最好直接验证：

问题B：通过乘以 $1 - a$ 来验证几何级数公式。

18.2.5 无穷级数的收敛性

这些都是有限和，但看到这个模式后，我们可以取极限并计算无穷级数：

问题C：对于哪些 $a$ ， $1 + a + a^{2} + a^{3} + \dots = \frac{1}{1 - a}$ 成立？

18.2.6 用无穷级数解锁泰勒级数

一个良好函数的泰勒级数是 $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} f^{(k)} (0) x^{k}$ 。刚刚看过问题C，就可以回答这个技巧性问题：

问题D： $f (x) = \frac{1}{(1 - x)}$ 在 $x_{0} = 0$ 处的泰勒级数是什么？

18.2.7 用级数推导对数

如何从上一个练习得到以下恒等式？

问题E： $- \log (1 - x) = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} + \dots$

18.2.8 探索在-1处的级数

现在让我们看看在 $x = - 1$ 处会发生什么。

问题F：利用E来观察 $x = - 1$ 时的情况。

18.2.9 数论与微积分的交汇

为什么像莱昂哈德·欧拉或戈弗雷·哈代这样伟大的数论家同时也是微积分大师？原因是许多数论性质的结果与微积分有着密切的关系。让我们看下面的问题：

问题G：莱布尼茨级数 $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$ 的值是多少？

提示：首先利用 $1 / (1 + x^{2})$ 的泰勒级数（后者是一个几何级数）计算 $f (x) = \arctan (x)$ 的泰勒级数，然后在 $x = 1$ 处求值。

18.2.10 泽塔函数与黎曼猜想

${Li}_{s} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{s}} = x + \frac{x^{2}}{2^{s}} + \frac{x^{3}}{3^{s}} + \dots$ 被称为多重对数函数。当 $s = 0$ 时，它就是问题D；当 $s = 1$ 时，它是问题E。在微积分中，我们可能更关心它作为 $x$ 的函数，而数论家更关心它作为 $s$ 的函数，且 $s$ 是复数。当 $x = 1$ 时，函数 $L i_{s} (x)$ 就是黎曼泽塔函数 $ζ (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}}$ 。

问题H：黎曼猜想说的是什么？

欧拉金钥匙将 $ζ$ 与素数联系起来：

定理1. $ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p 素数} (1 - \frac{1}{p^{s}})^{- 1}$ 。

18.2.11 欧拉金钥匙恒等式

问题I：验证欧拉金钥匙恒等式。

首先验证（或许可以看看问题C）对于单个素数 $p$ ，有 $\frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s}}} = 1 + \frac{1}{p^{s}} + \frac{1}{p^{2 s}} + \frac{1}{p^{3 s}} + \dots$ 这是对所有 $\frac{1}{n^{s}}$ 求和，其中 $n$ 只有素因子 $p$ 。然后考虑两个素数 $p$ 、 $q$ 的这些项的乘积，并看出这是对所有 $\frac{1}{n^{s}}$ 求和，其中 $n$ 只有素因子 $p$ 和 $q$ 。

18.2.12 探索基于微积分的哥德巴赫等价形式

让我们回到引言的主题。记住，哥德巴赫猜想断言每个大于 $2$ 的偶数都是两个素数之和。它与微积分有什么关系？定义 $g (x) = (f (x))^{2}$ ，其中 $f (x) = \sum_{p} \frac{x^{p}}{p!} = \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \frac{x^{7}}{7!} + \dots$ 对于以下内容，请通过证明两个方向来仔细验证。如果陈述 $A$ 和 $B$ 等价，那么这意味着我们必须证明两件事。我们必须验证 $A ⟹ B$ 和 $B ⟹ A$ 。

问题J：哥德巴赫猜想等价于对所有偶数 $n > 2$ ，有 $g^{(n)} (x) > 0$ 。

练习

练习1. 弱哥德巴赫猜想断言每个大于或等于6的整数都是三个素数之和。对 $n =$ $6, 7, 8, 9, 10, 11, \dots$ 验证这一点。该定理自2015年起已被证明（将发表在《数学年刊》上）。使用计算机绘制弱哥德巴赫彗星的图像。

练习2. 函数 $f$ 定义为：当 $x > 0$ 时 $f (x) = e^{- 1 / x}$ ，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = 0$ ，该函数是光滑的，且在 $0$ 处的所有导数均为零。验证。由此推断存在泰勒展开不成立的光滑函数。然后验证 $b (x) =$ $f (r^{2} - | x |^{2})$ 是一个“鼓包函数”（见图18.3）。首先定义什么是“鼓包函数”。

**图4.** 函数 $f (x) = e^{- 1 / x}$ 可用于定义一个**光滑鼓包函数** $b (x)$ ，该函数在半径为 $r$ 的球外为零。

练习3. 级数 $ζ (2) = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots$ 有着悠久的历史。稍微研究一下。特别是： $ζ (2)$ 的值是多少？谁首先发现了这个问题？这个问题叫什么名字？现在看看 $ζ (3)$ 。是否存在像 $ζ (2)$ 那样的显式公式？是否知道 $ζ (3)$ 是有理数还是无理数？

练习4. 通过查阅资料，解释为什么 $ζ (- 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots$ 可以被赋予一个有限值是合理的。你也可以用Mathematica的Zeta[-1]查找其值 $- 1 / 12$ 。这样一个有限值是如何可能的？在你的解释中，我们只想知道涉及哪个数学领域，以及将 $ζ (s)$ 定义在 $s = - 1$ （一个级数发散的点）的想法是什么。最后，求出以下值 $ζ (- 2), ζ (- 3), ζ (- 4), ζ (- 5), \dots ζ (- 9) .$ 最后一个为 $ζ (- 9) = 1^{9} + 2^{9} + 3^{9} + 4^{9} + \dots$

练习5. 你可以练习通过心算线性近似来计算 $1$ 到 $100$ 之间数字的平方根。例如，如果有人让你计算 $\sqrt{20}$ ，你会立即说出 $4 + 4 / (2 \cdot 4) = 4.5$ 。实际结果是 $4.472 \dots$ 。你也可以得到 $5 - 5 / (2 \cdot 5) = 4.5$ 。在 $1$ 到 $100$ 之间找出另一个非平方整数，使得这两种估计一致。（有几个这样的数）。

T被定义了两次，因为我们不想在每次计算T时都对f进行符号微分，而N[]强制使用浮点运算。↩︎

目录