岛屿数学

 

21.1 引言

21.1.1 建模眼镜岛的地形

我们正位于波士顿港附近的眼镜岛上，决定研究函数 f ( x , y ) ，它给出了位置 ( x , y ) 处的高度。该岛曾是一个“眼不见心不烦”的地方，被一家马匹提炼厂（将马加工成皮革和肥料）以及（相关的）油脂回收设施和垃圾处理场所占据。真恶心！在20世纪60年代，这里进行了一次更新，清理了岛屿，并将其改造为一个公共公园。现在它拥有 5 英里的步道和美丽的海滩。该岛已成为如何重建可持续开放空间的典范。

图1. 波士顿的眼镜岛有两个局部山丘，高度函数 f ( x , y ) 有一个鞍点。我们假设海滩处函数值为 0 。能否对岛屿的极大值、极小值和鞍点给出一般性结论？在此例中，我们有两个极大值和一个鞍点。

21.1.2 用微积分优化岛屿海岸线

本周我们在寻找极大值和极小值时，并不太关心有多少个临界点，或者可能出现哪些临界点组合。事实证明，这是一个非常令人兴奋的话题。在游览岛屿时，我们可以探索的另一个主题是岛屿的面积与其周长（海滩长度）之间的关系。如果面积固定，海滩总长度可以变得多短或多长？事实证明，这是一个无限维的拉格朗日问题，但我们也可以在有限维情况下，通过观察多边形岛屿来探索。我们在此利用这个主题，稍微探索一些与微积分相关的领域。

图2. 一个拥有 4 座山峰、一个洼地和 4 个山口的岛屿。岛屿定理保证 peaks + sinks − passes = 1 成立。

21.2 最大化面积

21.2.1 等周问题：岛屿与最优形状

“岛屿”是平面 ℝ 2 中的一个区域，由一条简单闭合曲线 C 界定，该曲线处处连续，且除有限个点外处处可微。我们允许连续性有例外，以便包含简单多边形。如果边界长度固定，哪个岛屿的面积最大？这被称为等周问题。如果我们考虑限制在固定顶点数 n 的多边形上的问题，就得到了一个很好的有限维拉格朗日问题。

21.2.2 三角形的最大面积

让我们考虑一个三角形岛屿 T ( x , y ) ，其顶点为 ( − 1 , 0 ) 、 ( 1 , 0 ) 、 ( x , y ) 。

问题A：假设三角形的周长 g ( x , y ) = 1 + ( x + 1 ) 2 + y 2 + ( x − 1 ) 2 + y 2 为 3 。我们能得到的最大面积 f ( x , y ) = y / 2 是多少？建立拉格朗日方程并求解。

21.2.3 探索固定距离和的点轨迹

这里有一个来自古老欧几里得几何的相关问题。如果你不知道，可以查一下“线绳图钉法”。

问题B：平面中哪些点 ( x , y ) 满足 g ( x , y ) = 3 ？这意味着，平面中哪些点具有到两个定点的距离之和为常数的性质？

21.2.4 连接三角形与正多边形

求解具有最大面积的 n 边形是一个复杂的拉格朗日问题。可以用计算机完成，但有一种更优雅的方法：

问题C：利用问题A的计算，证明对于顶点依次为 … , P , Q , R , … 的三角形，要获得最大面积， P 与 Q 之间的距离必须等于 Q 与 R 之间的距离。

问题D：推断具有 n 个顶点且面积最大的多边形必定是正多边形。

21.2.5 反射之路

你身处一个宝岛 G ，岛上有两个地点 A 和 C 。你需要从 A 前往 C ，但想先到达海滩上的某一点。事实证明，解决方案是边界处的台球反射定律。考虑三角形 A B C ，用 B 处的切线 L 代替曲线。将 C 关于 L 反射，得到点 。如果路径 A B C 的长度与直接连接 A 和 的路径长度相同，则该路径最短。

图3. 周长固定的多边形中，哪个面积最大？

21.3 山峰、洼地和山口

21.3.1 用山峰和洼地探索庞加莱-霍普夫定理

下次你流落荒岛时，数一数山峰的数量 m 、洼地的数量 s 和山口的数量 p 。做一些实验。你会注意到以下规则，它是庞加莱-霍普夫定理的一个特例：

定理1. maxima + minima − saddles = 1 。

问题F：找出一个满足此等式的例子，其中 maxima = 3 ， minima = 1 ， saddles = 3 。

21.3.2 环礁上的岛屿定理

如果你想挑战自己，看看能否通过形变来证明岛屿定理。（这可能太难了。享受努力的过程吧！）

问题G：现在假设我们的岛屿是一个环礁，即一个环形的珊瑚礁。通过观察例子，环礁上的岛屿数 maxima + minima − saddles 是多少？

图4. 首先是一个有 2 座山峰和 1 个山口的岛屿。然后是一个有 3 座山峰和 2 个山口的岛屿。我们看到 maxima + minima − saddles = 1 。
图5. 阿塔富环礁。图片由NASA约翰逊航天中心提供，2009年。

图6. 如果我们在空间中放置一个曲面 S : g = c ，并考虑函数 f ( x , y , z ) 在 S 上的限制，我们就解决了一个拉格朗日问题。在莫尔斯情况下，数值 maxima + minima − saddles 加起来等于一个仅取决于孔洞数量的数。

21.3.3 一维岛屿定理

让我们看一维情况，此时证明更容易。假设岛屿是区间 [ a , b ] 。设 f 是 [ a , b ] 上的光滑函数，且满足当 x ≥ b 和 x ≤ a 时 f 为零。我们考虑 f 在内部 ( a , b ) 的临界点，这些临界点是莫尔斯型的（即在临界点处 ），因此我们只有局部极大值和极小值作为临界点。设 m 为极大值的数量， s 为极小值（洼地）的数量。为了防止岛屿被淹没，我们还假设函数 f 在 x > a 靠近 a 处和 x < b 靠近 b 处为正。

定理2. maxima − minima = 1 。

问题H：验证对于一个支集为有限区间 [ a , b ] 的莫尔斯函数 f ，其临界点个数为奇数。

图7. 一维岛屿。

问题I：使用形变论证证明，如果有 2 k + 1 个临界点，我们可以通过合并一对相邻的极大值和极小值，将其减少到 2 k − 1 个。

练习

练习1. 假设 f : ℝ → ℝ 是圆上的单变量莫尔斯函数。在 [ 0 , 2 π ) 上极大值的数量 m 与极小值的数量之间有什么关系？证明你的结论。
提示：验证对于莫尔斯函数，两个极大值不可能相邻。

练习2. 如果我们考虑定义在球面上的莫尔斯函数 f ( x , y ) 的极大值、极小值和鞍点，求出那里的岛屿数 maxima + minima − saddles 。

练习3. 如果我们考虑定义在甜甜圈上的函数 f ( x , y ) 的极大值、极小值和鞍点。通过观察例子，求出那里的岛屿数 maxima + minima − saddles 。

练习4. 如果我们考虑有两个洞的椒盐卷饼上的极大值、极小值和鞍点。记得你曾构造过这样的形状。通过观察例子，那里的岛屿数 maxima + minima − saddles 是多少？最简单的情况是函数在 ℝ 3 中是线性的。

练习5. 描述如何构造一个具体的二元函数 f ( x , y ) ，它有两个极大值，没有极小值，也没有鞍点。（根据岛屿定理，这在岛屿上是不可能的。然而在平面上是可能的，但这样的函数不容易描述。互相讨论策略。）