定义、定理与证明

3.1 引言

3.1.1 数学：永恒的科学

数学真正令人惊叹的一点是，它是一个框架，一旦某事物被确立，就将永恒为真。大多数科学的焦点变化得相当迅速和频繁，整个范式都会改变。数学当然也在演变。但一旦确立的真理不会改变。我们在第一讲中证明的毕达哥拉斯定理，再过百万年仍将为真。我们描述一个陈述的语言几乎肯定会在未来的数学框架中完全改变。但毕达哥拉斯的陈述依然有效。

3.1.2 严谨定义的影响

混淆的最重要来源之一是马虎的定义。数学很早就坚持精确且无歧义的定义。我们在第一讲中已经看到了这一点。将 "向量" 定义为具有大小和方向的量不仅含糊不清且错误（因为它没有涵盖零向量），它还会诱使你产生某种 "理解"，因为我们都从日常生活中对 "长度" 和 "方向" 这类大小有直觉。即使在 "硬科学" 中，也经常使用马虎的定义。不过，我们也不要太傲慢。事实证明，想出既精确又优雅的定义通常是一件相当困难的任务。在物理学中，花了很长时间才取代像 "vis viva" 这样的概念，并用动量或动能等精确定义取而代之。正是埃米莉·杜·夏特莱本质上帮助澄清了这些定义，并区分了动量 $mv$ 和能量 $m{v}^2/2$。

3.1.3 定理作为数学的基石

数学的支柱是定理。这些是已经通过一系列严谨的论证被验证的陈述，其中每一步要么使用基本的逻辑步骤，要么使用先前已确立的定理。在这个过程不能有任何错误的定理是极其重要的。否则，构建在它之上的一切都会倒塌。数学就像一个大型计算机程序，其中各个过程就是定理。如果其中一个过程有缺陷，它可能使整个系统崩溃。一个证明总有可能被证明是不完整或错误的，历史已经一次又一次地显示出这种情况。大多数时候，人们可以修正这个陈述。有时，因为该陈述有反例，无法修正。在这种情况下，必须修改陈述或调整定义以使其为真。拉卡托斯在其名著《证明与反驳》中，结合我们在第二讲中见过的欧拉宝石公式 $V-E+F=2$ 说明了这一点。正是在这里，对 "多面体" 概念的草率定义导致了错误的陈述，该定理不得不随着时间的推移被修补。

3.2 讲座

3.2.1 素数分解

定理 是可以通过给出证明来验证的数学陈述。一个证明 确保定理为真，并且在未来也仍然有效。

让我们看一个定理的例子。它早已被 亚历山大的欧几里得 所知晓并证明。它涉及整数和素数，即大于 $1$ 且仅能被 1 或自身整除的正整数。该定理指出，每个正整数要么是 1，要么是素数，要么是两个或更多素数的积。为了更优雅地表述该定理，我们扩展了积的概念，并称一个素数是 $k=1$ 个素数的积，而数字 1 是 $k=0$ 个素数的积。同样，我们会说数字 $20=2\ast 2\ast 5$ 是 $k=3$ 个素数的积，即使素数 2 出现了两次。这类似于水分子 ${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}=\mathrm{H}\ast \mathrm{H}\ast \mathrm{O}$ 含有 $k=3$ 个原子，其中氢 $H$ 出现两次，氧 $O$ 出现一次。现在，正如每个分子分解成原子，每个数都分解成素数：

这是一个了不起的陈述，因为整数有无穷多。因此我们不能遍历一个无限列表并对每一个进行检查。事先可能发生的情况是，对于某个非常大的数，比如费马数 $F_{1000}=2^{\left(2^{1000}\right)}+1$，它甚至无法在我们的宇宙中被写下，¹ 这个陈述可能会失效。

3.2.2 清晰定义的重要性

为了使这样一个陈述能被验证或反驳，首先需要确保这些对象被清晰的定义所描述。在上述句子中，这意味着我们需要知道 "整数" 是什么，"积" 是什么，以及 "素数" 是什么。这通常已经很棘手。科学史上（甚至今天！）的大多数混淆都源于草率的定义。²

3.2.3 从例子到证明

一旦陈述中各成分的定义清晰了，厘清其含义是有帮助的。我们通过查看例子来获得直觉。例如，我们看到 $100=2\ast 2\ast 5\ast 5$ 确实是素数的积。我们也看到 $7$ 是一个素数。例子很棒，但在这个阶段认识到以下原则很重要：

我们将在课程后面再回到这一点。

3.2.4 数学归纳法

重要的证明技巧之一是数学归纳法原理。³ 它主要应用于整数，但正如我们在第二讲中所见，它也可以用于矩阵。该原理适用于依赖于一个数 $n$ 的陈述 $S(n)$。

3.2.5 使用数学归纳法的一个例子

这里有一个例子：

3.2.6 重述素因数分解定理

让我们看看上面关于素数的定理。为了使其成为一个我们可以从 $n$ 扩展到 $n+1$ 的陈述，我们将其修改为

3.2.7 用归纳法证明素因数分解定理

$S(2)$ 成立，因为 $\{2\}$ 只包含一个素数。现在假设 $S(n)$ 成立，即该陈述对 $n$ 为真，证明 $S(n+1)$ 为真。有两种情况：若 $n+1$ 是素数，则 $S(n+1)$ 成立。若 $n+1$ 不是素数，则 $n=ab$，其中 $a$ 和 $b$ 是大于 $1$ 但小于 $n$ 的数。由归纳假设，$a$ 和 $b$ 都可分解为素数：$a=p_1{p}_2\dots p_k$，$b=q_1{q}_2\dots q_l$，其中 $p_j$ 和 $q_j$ 都是素数。因此，$n+1=p_1{p}_2\dots p_k{q}_1{q}_2\dots q_l$。

3.2.8 理解数学定理的界限：避免过度延伸和误解

理解该陈述而不越界是非常重要的。我们并没有证明每个整数都有一个唯一的素因数分解。欧几里得不知道这一点（他可能甚至没有想过这个问题）。这一事实仅在 2000 年后由高斯证明。数学证明中一个常见的错误是，引用一个已知的定理，却超出了其适用范围，或者忘记了其中的某个假设。

3.2.9 通过错误实现数学创新

如果你认为这类错误只发生在初学者身上，那就错了。伦纳德·欧拉，或许是有史以来最伟大的数学家，曾试图通过使用扩展的数系如 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$（即所有形式为 $a+\sqrt{-3}b$ 的数，其中 $a,b$ 是整数）来证明费马大定理。你看，人们可以像整数一样对这类数进行加法和乘法并留在该类中。欧几里得的证明也表明存在素因数分解。但可能存在不同的素因数分解。一个例子是 $4=2\ast 2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$。加布里埃尔·拉梅也犯过类似的错误，他于 1847 年宣布了费马大定理的一个证明，该定理称对 $n\ge 3$，除非 $xyz=0$，否则不存在 $x^n+y^n=z^n$ 的解。拉梅的天才想法是将 $x^n+y^n$ 分解为线性因式，利用满足 ${\xi }^n=1$ 的数，即所谓单位根。同样，欧几里得证明存在素因数分解，但这里分解也不是唯一的。这个错误实际上相当重要。它引出了恩斯特·库默的 "理想论"，该理论使费马大定理在某些情况下得以证明。

⁴

3.2.10

当然，我们必须不惜一切代价避免最终产品中的错误。欧拉因为创造了大量将永远为真的数学，而无疑赢得了犯一些错误的权利。但错误可能更为基本。这里有一个波利亚给出的优美例子：⁵

证明：归纳假设很清楚，因为对于 $n=1$，所有马颜色相同。现在假设该陈述对所有 $n$ 匹马的组都成立。取出 $n+1$ 匹马，先拿走第一匹。这就剩下 $n$ 匹马，它们颜色都相同。现在将第一匹放回，拿走最后一匹。我们再次得到 $n$ 匹马，颜色都相同。因此所有马颜色相同。

这里还有一些趣谈：

3.2.11 上述定理的证明！！

证明：没有猫没有尾巴。有一只尾巴的猫比没有猫多一条尾巴。没有猫有八条尾巴。因此，猫有九条尾巴。

3.2.12

关于以下 "素数" 的定义，我们遵循：⁶

素数是没有任何因子的数。
巧克力盒子总是包含素数块
以便无论在场人数多少
总有人分得那剩下来的一块。

3.2.13 理解数学归纳法与无穷：从‘阿列夫零瓶啤酒’歌曲中获得的洞见

为什么我们从 $n=1$ 开始做归纳，而不是从另一端？下面这首歌解释了个中原因：（作为欣赏歌曲的一点背景知识：阿列夫零 $={\mathrm{\aleph }}_0$ 是自然数 $\mathbb{N}$ 的基数。${\mathrm{\aleph }}_1$ 是下一个更大的基数。实数 $ℝ$ 的基数是 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$（正如康托尔对角线论证所示，实数是不可数的），也就是自然数的所有子集的基数。康托尔已经证明存在着不同的无穷。像康托尔这样优美的头脑自然要问：这两个无穷之间是否存在另一个无穷？

命题 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$ 就是连续统假设，简写为 CH。保罗·科恩和库尔特·哥德尔在六十年代的工作表明，无法在 ZFC 集合论（我们标准数学的公理系统，从中可以推导出包括归纳原理的皮亚诺公理）中证明该命题或其否定。康托尔曾长期试图证明 CH，但未能如愿。我们现在知道，他证明这个陈述的努力从一开始就注定要失败。这种可能性始终存在。我们有可能（尽管可能性极小）无法证明每个大于 2 的偶数都是两个素数之和，即使它实际上是真的！⁷ 连续统假设问题是希尔伯特 1900 年提出的第一个问题。

墙上有阿列夫零瓶啤酒，
阿列夫零瓶啤酒，
你取下一瓶，传给别人，
墙上还有阿列夫零瓶啤酒。

3.2.14 数学幽默：R. Ainsley 对“Q.E.D.”含义的解读

下面是 Ainsley 的另一段引文：

在证明的结尾你会写上 Q.E.D，

它代表的不是

书中让你相信的 Quod Erat Demonstrandum，

而是 Quite Easily Done。

练习