固体

25.1 引言

25.1.1 超越曲面：三维立体

$1$ 维对象是曲线，$2$ 维对象是区域或曲面。在 $3$ 维中，我们处理的是立体。能想象到的最简单的立体是立方体或球体。三维空间中的立体通常通过绘制其边界曲面来表示。例如，一个多面体由平面界定。第一个图显示了由双曲面界定的立体。计算其体积是一个相当大的挑战。¹

25.1.2 维度构建：长度、面积，以及现在的体积

曲线 $C$ 有长度，区域 $S$ 有面积，而三维立体 $E$ 有体积。我们将在下一讲中探讨表面积 ${\iint }_{S}1dS$。在本讲中，我们研究体积 ${\iiint }_{E}1dV$。

25.2 课堂讲解

25.2.1 从基本立体到三重积分

${ℝ}^n$ 中的一个基本立体 $R$ 是由有限多个曲面 $g_i(x_1,\dots ,x_n)=c_i$ 围成的有界区域。一个立体是这些基本立体的有限并集。我们这里主要关注 $n=3$ 的情况。三维积分 $I={\iiint }_{R}f(x,y,z)dxdydz$ 的定义方式与黎曼和 $I_n$ 的极限相同，对于给定的整数 $n$，其定义为 $$I_n=\frac{1}{n^3}\sum _{(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})\in R}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n}).$$ 收敛性的证明方式相同。边界贡献在极限 $n\to \mathrm{\infty }$ 中可以忽略。如果 $\mathrm{\Phi }:R\to E$ 是立体的一个参数化，那么

25.2.2 使用三维积分和变量替换计算体积

如果 $f(x,y,z)$ 是常数 $1$，那么 ${\iiint }_{E}f(x,y,z)dxdydz$ 就是立体 $E$ 的体积。对于一个圆锥体 $$x^2+y^2\le z^2,0\le z\le 1,$$ 我们可以写成 $$\iiint 1dzdxdy={\iint }_R(1-\sqrt{x^2+y^2})dxdy,$$ 其中 $R$ 是单位圆盘。其体积为 $\pi -2\pi /3=\pi /3$。例如，对于单位球体 $x^2+y^2+z^2\le 1$，我们可以写成 $${\iiint }_{E}1dzdxdy={\iint }_{R}2\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy,$$ 其中 $R$ 是单位圆盘 $x^2+y^2\le 1$。在极坐标下，我们得到 $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}2\sqrt{1-r^2}rdrd\theta =4\pi /3.$$ 我们也可以使用球坐标 $$\mathrm{\Phi }([\rho ,\varphi ,\theta ])=[\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),\rho \cos (\varphi )],$$ 其中 $|d\mathrm{\Phi }|={\rho }^2\sin (\varphi )$。体积为 $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{\rho }^2\sin (\varphi )d\rho d\varphi d\theta =4\pi /3.$$

25.2.3 三维积分的两种关键方法

计算积分有两种基本策略：第一种是沿着一条线（如 $z$ 轴）将区域切片，然后形成 ${\int }_a^b{\iint }_{R(z)}f(x,y,z)dxdydz$。例如，要得到圆锥体的体积，对 ${\int }_0^1\left[{\iint }_{R(z)}1dxdy\right]dz$ 进行积分。内部二重积分是切片的面积，即 $\pi z^2$。最后一个积分给出 $\pi /3$。第二种简化是将立体视为夹在区域 $R$ 上两个函数图形之间，然后形成 ${\iint }_R[{\int }_{g(x,y)}^{h(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy$。在圆锥体的情况下，对于 $R$ 是半径为 $1$ 的圆盘。下函数是 $g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，上函数是 $1$。我们得到 ${\iint }_R[1-\sqrt{x^2+y^2}]dxdy$，这是一个最好使用极坐标计算的二重积分：$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1(1-r)rdrd\theta =2\pi (1/2-1/3)=\pi /3.$$ 汉堡和薯条！

25.2.4 球坐标和柱坐标的雅可比行列式

我们在定理中看到了如果给定 $\mathrm{\Phi }:R\to E$ 时的坐标变换公式。对于球坐标 $$\mathrm{\Phi }([\rho ,\varphi ,\theta ])=[\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),\rho \cos (\varphi )],$$ 我们有 。对于柱坐标，情况与极坐标相同。映射 $$\mathrm{\Phi }([r,\theta ,z])=[r\cos (\theta ),r\sin (\theta ),z]$$ 产生 。

25.2.5 椭球体积

让我们求积分 ${\iiint }_{E}1dxdydz$，其中 $$E=\{x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2\le 1\}$$ 是一个实心椭球。最方便的方法是引入另一个坐标变换 $\mathrm{\Psi }([x,y,z])\to [ax,by,cz]$，它将实心球体 $S$ 映射到实心椭球 $E$。然后取球坐标映射 $\varphi :R\to S$，其中 $$R=\{(\rho ,\varphi ,\theta )\mid 0\le \rho \le 1,0\le \varphi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi \}.$$ 现在 $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }:R\to E$ 是一个将 $R$ 映射到椭球的坐标变换。根据链式法则，畸变因子为 $|d\mathrm{\Psi }||d\mathrm{\Phi }|=abc{\rho }^2\sin (\varphi )$。积分为 $$abc(1/3)(2\pi ){\int }_0^{\pi }\sin (\varphi )d\varphi =\boxed{(4\pi /3)(abc)}.$$

25.2.6 实心环体积：一种特殊坐标系

为了计算实心环的体积，我们可以引入一个特殊的坐标系 $$\mathrm{\Phi }([r,\psi ,\theta ])=[(b+ar\cos (\psi ))\cos (\theta ),(b+ar\cos (\psi ))\sin (\theta ),a\sin (\psi )].$$ 实心环 $E$ 是长方体 $$\{(r,\psi ,\theta )\mid 0\le r\le 1,0\le \psi \le 2\pi ,0\le \theta \le 2\pi \}$$ 的像。行列式为 $|d\mathrm{\Phi }|=a^2{\cos }^2(s)(b+ar\cos (s))$。在长方体上积分得到体积 $(2\pi b)(\pi a^2)$。

25.3 示例