参数化

11.1 引言

11.1.1 展开形状：参数化的魔法

我们已看到，当参数化曲线 $r (t)$ 时，我们比观察由方程给出的曲线时有更多的控制。例如，很难用方程来描述螺旋线 $r (t) = [\cos (t), \sin (t), t]$ 。对于曲面也是如此，最好使用与维度相同数量的坐标。我们生活在二维球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 上，但不使用 $x, y, z$ 坐标来描述曲面上的点。我们使用两个坐标：经度）和纬度。欧拉首先使用了参数化 $[x, y, z] = [\cos (t) \cos (s), \sin (t) \sin (s), \sin (s)]$ ，其中 $t$ 、 $s$ 是角度。你可以快速验证 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 加起来等于 $1$ ，所以无论选择什么角度 $t$ 、 $s$ ，我们始终在球面上。

**图 1.** 该曲面是 Calabi-Yau 曲面的一个例子。它被参数化为 $r (u, v)$ 。我们画出了一些网格曲线，其中 $u$ 为常数或 $v$ 为常数。

11.2 讲座

11.2.1 雅可比矩阵与曲面面积

映射 $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ 被称为参数化。我们已经见过从 $ℝ$ 到 $ℝ^{n}$ 的映射 $r$ ，它们是曲线。然后我们也见过映射 $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ ，它们是坐标变换。在每种情况下，我们都定义了雅可比矩阵 $d f (x)$ 。对于曲线 $r : ℝ \to ℝ^{n}$ ，它就是速度。对于坐标变换，雅可比矩阵 $d f (x)$ 被用来得到体积畸变因子 $\det (d f (x)) = \sqrt{\det (d f^{T} d f)}$ 。今天，我们关注 $m < n$ 的情况，特别是 $m = 2$ ， $n = 3$ 。与曲线的情况一样，我们用字母 $r$ 来描述映射。映射 $r : R \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ 的像就是 $ℝ^{n}$ 中的一个 $𝒎$ 维曲面。畸变因子 $‖ d r ‖$ 定义为 $‖ d r ‖^{2} = \det (d r^{T} d r)$ ，稍后将用于计算曲面面积。¹

11.2.2 曲面与映射

我们这里主要讨论 $m = 2$ 和 $n = 3$ 的情况，因为我们自身就是由二维曲面组成的，如细胞、膜、皮肤或组织。映射 $r : R \subset ℝ^{2} \to$ $ℝ^{3}$ ，写为 $r ([\begin{array}{l} u \\ v \end{array}]) = [\begin{array}{l} x (u, v) \\ y (u, v) \\ z (u, v) \end{array}]$ 定义了一个二维曲面。为了节省空间，我们也简写为 $r (u, v) = [x (u, v), y (u, v), z (u, v)]$ 。在计算机图形学中， $r$ 被称为 $𝒖 𝒗$ 映射。 $u v$ 平面是你绘制纹理的地方。映射 $r$ 将其放置到曲面上。在地理学中，映射 $r$ 被（意外地！）称为地图。多个地图定义一个图集。曲线 $u \to r (u, v)$ 和 $v \to r (u, v)$ 称为网格曲线。

11.2.3 球体与椭球体参数化一瞥

参数化 $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ 得到球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 。整个球面的范围为 $0 \leq ϕ \leq π$ ， $0 \leq θ < 2 π$ 。通过修改坐标，我们得到椭球面 $r (ϕ, θ) = [a \sin (ϕ) \cos (θ), b \sin (ϕ) \sin (θ), c \cos (ϕ)]$ 满足 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} + z^{2} / c^{2} = 1$ 。如果允许 $a, b, c$ 是 $ϕ, θ$ 的函数，我们就得到“凹凸不平的球面”，如 $r (ϕ, θ) = (3 + \cos (3 ϕ) \sin (4 θ)) [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)] .$

11.2.4 平面与网格曲线

平面由线性映射 $r (x) = A x + b$ 描述，其中 $A \in M (3, 2)$ ， $b \in M (3, 1)$ 。雅可比映射为 $d r = A$ 。设 $r_{u}, r_{v}$ 是 $A$ 的两个列向量。实际上， $r_{u}$ 是 $\partial_{u} r (u, v)$ 的缩写，即网格曲线 $u \to r (u, v)$ 的速度向量。

11.2.5 平面参数化示例

一个例子是参数化 $r (u, v) = [u + v - 1, u - v + 3, 3 u - 5 v + 7]$ 。此时 $b = [\begin{array}{r} - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}], r_{u} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}], r_{v} = [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}]$ 且 $A = d r = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 3 & - 5 \end{array}] .$ 我们看到 $A^{T} A = [\begin{array}{lr} 11 & - 15 \\ - 15 & 27 \end{array}]$ 其行列式为 $72$ 。我们也有 ${| r_{u} \times r_{v} |}^{2} = {| [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}] \times [\begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 5 \end{array}] |}^{2} = {| [\begin{array}{r} - 2 \\ 8 \\ - 2 \end{array}] |}^{2} = 72.$

11.2.6 揭示畸变因子：与叉积的联系

前面的计算提示了法向量与基本形式 $g = d r^{T} d r$ 之间的关系。在三维中，参数化 $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ 的畸变因子确实总是可以用叉积重写：

定理 1. $\det (d r^{T} d r) = | r_{u} \times r_{v} |^{2}$ .

证明. 由于 $d r^{T} d r = [\begin{array}{ll} r_{u} \cdot r_{u} & r_{u} \cdot r_{v} \\ r_{v} \cdot r_{u} & r_{v} \cdot r_{v} \end{array}],$ 该恒等式是柯西-比内恒等式 $| r_{u} \times r_{v} |^{2} = | r_{u} |^{2} | r_{v} |^{2} - | r_{u} \cdot r_{v} |^{2}$ 它归结为 $\sin^{2} (θ) = 1 - \cos^{2} (θ)$ ，其中 $θ$ 是 $r_{u}$ 和 $r_{v}$ 之间的夹角。这就是你在图片中看到的网格曲线之间的夹角。 ◻

11.3 示例

示例 1. 对于单位球面 $r (ϕ, θ) = [\sin (ϕ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (θ), \cos (ϕ)]$ 和 $A = d r$ ：得到 $g = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} (ϕ) \end{matrix}]$ 且 $\sqrt{\det (g)} = \sin (ϕ)$ 是畸变因子。

示例 2. 一类重要的曲面是图形 $z = f (x, y)$ 。它最自然的参数化是 $r (x, y) = [x, y, f (x, y)]$ ，其中映射 $r$ 只是将底部部分提升到较高的版本。一个例子是椭圆抛物面 $r (x, y) = [x, y, x^{2} + y^{2}]$ 和双曲抛物面 $r (x, y) = [x, y, x^{2} - y^{2}]$ 。当然我们也可以写成 $r (u, v) = [u, v, u^{2} - v^{2}]$ 。

示例 3. 旋转曲面的参数化如 $r (θ, z) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z] .$ 注意我们可以使用任何变量。此时使用了 $u = θ$ 、 $v = z$ 。一个例子是圆锥面 $r (θ, z) = [z \cos (θ), z \sin (θ), z]$ 或单叶双曲面 $r (θ, z) = [\sqrt{z^{2} + 1} \cos (θ), \sqrt{z^{2} + 1} \sin (θ), z] .$

示例 4. 圆环面在柱坐标下为 $(r - 3)^{2} + z^{2} = 1$ 。我们可以使用极角 $θ$ 和以圆心为中心的极角将其参数化为 $r (θ, ϕ) = [(3 + \cos (ϕ)) \cos (θ), (3 + \cos (ϕ)) \sin (θ), \sin (ϕ)] .$ 两个角度 $θ$ 和 $ϕ$ 都从 $0$ 到 $2 π$ 。我们现在也看到了与环面坐标的关系。

示例 5. 螺旋面是你看到的像楼梯或螺丝的表面。参数化是 $r (θ, p) = [p \cos (θ), p \sin (θ), θ]$ 。我们如何理解它？关键是看网格曲线。如果 $p = 1$ ，我们得到曲线 $r (θ) = [\cos (θ), \sin (θ), θ]$ ，它已被识别为螺旋线。另一方面，如果你固定 $θ$ ，则得到直线。

11.3.1 附注：度量张量与黎曼几何

第一基本形式 $g = d r^{T} d r$ 也称为度量张量。在黎曼几何中，我们研究配备度量 $g$ 的流形 $M$ 。最简单的情况是 $g$ 来自参数化，就像我们这里所做的。在物理学中，我们知道是质量使时空变形。量 $‖ g ‖^{2} = \det (g)$ 是 $| g |^{2} = tr (g)$ 的乘法类似物。对于可逆的正定方阵 $A$ ，我们稍后会看到恒等式 $\log \det (A) = tr \log (A)$ ，它说明了行列式和迹都是源自矩阵的关键数值量。迹是可加的，因为 $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ ，而行列式是可乘的 $\det (A B) = \det (A) \det (B)$ ，我们稍后会看到。

11.3.2 表示流形的方法

综上所述，我们目前已经看到有两种根本不同的方法来描述流形。第一种是将其写为水平面 $f = c$ ，它是映射 $g (x) = f - c$ 的核。第二种是将其写为某个映射 $r$ 的像。

11.4 插图

**图 5.** 一个水果和数学糖果 $^{\copyright}$ math-candy.com（在 Mathematica 中渲染）

练习

练习 1. 将双叶双曲面上半部分 $x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 1$ ， $z > 0$ 参数化为旋转曲面。

练习 2.

使用映射 $r : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ 参数化平面 $x + 2 y + 3 z - 6 = 0$ 。
现在求矩阵 $A = d r$ 并计算 $g = A^{T} A$ 以及畸变因子 $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ 。
也计算 $r_{u}$ 、 $r_{v}$ 和 $r_{u} \times r_{v}$ ，然后计算 $| r_{u} \times r_{v} |$ 。你应该得到相同的数字。

练习 3. 给定 $2$ -环面的参数化 $r (θ, ϕ) = [(7 + 2 \cos (ϕ)) \cos (θ), (7 + 2 \cos (ϕ)) \sin (θ), 2 \sin (ϕ)]$ ，求描述该环面的隐式方程 $g (x, y, z) = 0$ 。

练习 4. 参数化双曲抛物面 $z = x^{2} - y^{2}$ 。什么是第一基本形式 $g = d r^{T} d r$ ，即畸变因子 $\sqrt{\det (g)}$ 是什么？

练习 5. 矩阵 $g = d r^{T} d r$ 也被称为第一基本形式。如果 $r : ℝ^{4} \to ℝ^{4}$ 是时空的参数化，那么 $g$ 就是时空度规张量。矩阵 $g$ 的元素出现在广义相对论中。现在出于某些原因，物理学家们使用希腊符号来访问矩阵元素。他们将第 $μ$ 行第 $ν$ 列的元素写作 $g_{μ ν}$ 。例如，它出现在爱因斯坦场方程中 $R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν} .$ 我们只是想让你查阅这个方程，并说明每个变量叫什么，以及它是矩阵、标量函数还是常数。

在 $M (n, m)$ 中区分 $‖ A ‖^{2} = \det (A^{T} A)$ 和 $| A |^{2} = tr (A^{T} A)$ 。它们仅在 $m = 1$ 时一致。↩︎

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